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一、 学习目标
理解直线倾斜角的概念；
掌握直线的倾斜角与斜率的关系；
渗透数形结合思想，发展直观想象核心素养.
二、 学习过程
(-)复习导入
问题1：如何刻画直线的倾斜程度？
问题2：除了斜率还能用其它量来刻画直线的倾斜程度吗？
问题3：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角来刻画直线/
的倾斜程度呢？
问题4：阅读教材P79,完成下列问题：
直线倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，把X轴所在的 直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.
规定：
与x轴平行或重合的直线的倾斜角为；
直线的倾斜角a的范围是.
问题5：当直线与X轴垂直时，直线的倾斜角是多少？斜率存在吗?
问题6：当直线与x轴不垂直时，你能发现直线的倾斜角与斜率有什么关系吗？
(提示：利用任意角三角函数的定义.)
建构数学
- 4
例1已知直线的倾斜角为a ,且cosa=—,求直线的斜率上.
5
问题1：直线与x轴垂直吗？若不垂直，直线的倾斜角与斜率有何关系？
问题2：倾斜角a的范围是什么？在此范围内已知a的正弦值，你能求出正切值吗？
变式 已知两点A(-1,—5), 3(3,—2),直线/的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半, 求直线I的斜率.
问题1：若设直线/的倾斜角为a,则直线AB的倾斜角为多少？
问题2：已知tan2a的值，你能求出tana吗？
例2已知两点A(—1,2), B(m,3)，且实数1,0-1］，求直线A3的倾斜
角a的取值范围.
问题1：直线与x轴可能垂直吗？此时倾斜角是多少？
问题2：直线AB与x轴不垂直，斜率和倾斜角是什么关系？
问题3：利用斜率的范围，结合正切函数图象，你能求出倾斜角的范围吗？
变式经过点P(o,-1)作直线/,若直线，与连接4(1,-2), 3(2,1)的线段总有公共点.
求直线/斜率R的范围；
直线/倾斜角a的范围.
问题1：你能画出示意图吗？请观察临界状态时的斜率.
7T TT
问题2：正切函数在[0,-)和(^,万)单调性如何？
反馈练习
给出下列命题：
若直线倾斜角为a ,则直线斜率为tana；
若直线斜率为tana,则直线的倾斜角为a.；
直线的倾斜角越大，它的斜率越大；
直线的斜率越大，其倾斜角越大；
直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率；
所有直线都有倾斜角.
其中正确命题的序号为.
已知直线的倾斜角，求直线的斜率.
a=0 ； ⑵a=60 ； (3)tz=15O ； (4)tz=90
求过下列两点的直线的斜率左及倾斜角a .
⑴[(—2,3), £(—2,8)；
弓(5,—2), P,(-2,-2)；
*(—2,0), R(—5,3).
直线/经过A（2,l）, 3（1,〃任）（〃隹7?）两点，那么直线/的倾斜角的取值范围是
（四）反思总结
本节课你学到了什么？主要从以下几个方面总结：
（1） 刻画直线的倾斜程度的量有什么？
（2） 直线倾斜角的定义和范围是什么？
（3） 直线的斜率和倾斜角的关系是什么？
三、效果检测
判断下列命题的对错：
（1） 每一条直线都有唯一确定的倾斜角.（ ）
（2） 每一条直线都有斜率.（ ）
（3） 直线的倾斜角为a ,则直线的斜率为tana.（ ）
（4） 直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大.（ ）
若直线/的倾斜角a 则直线/的斜率上的取值范围是 .
6 3
当直线/的斜率上分别在下列范围内时，直线/的倾斜角a的范围分别是什么？
(2)尾(一8, -1] [1,-Ko).
在平面直角坐标系中，对于一条与工轴相交的直线,把工轴所在 的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正 角称为这条直线的倾斜角(inclination),并规定：
与工轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
由定义可知,直线的倾斜角a的取值范围是
0°<a<180°.当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角(图2 1 5(1)), 此时，
当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角(图2- 1- 5(2)),此时， fe = ^
Ar
BN
-^AN
=—tan 0
关于钝角三 数♦将在必修4 ** 函数”一章中讨我
=—tan( 180° —a).
当a为钝角时，我们规定
tana =— tan(180°—a).
因此，当直线与工轴不垂直时,直线的斜率艮与倾斜角a之间满足 k = tana.
79
4
例1已知直线的倾斜角为a ,且cosa=g,求直线的斜率
解：因为sin? a + cos? q =1 ,所以
又 a g [0,7i),因此 sin or > 0, sin cr =—
r sin6/ 3 5 3
故Stan a = = —x—=—.
cos a 5 4 4
变式已知两点A(-l,-5),
8(3,-2),直线/的倾斜角是直线A8的倾斜角的一半,
求直线/的斜率.
解：设直线/的倾斜角是
则直线A8的倾斜角为2a,得
tan2a = % =
利用二倍角的正切函数公式得
2tano _ 3
1 - tan2 a 4
化简得：3tan2 o + 8tano-3 = 0
解得 tana=-3或 tana=Z ,
3
3
而tan 2a- — > 0得2a是锐角，
4
ji 1
则 a e (0,—),所以 ％=tana=—.
4 ' 3
例2已知两点A(—1,2), B(m,3)，且实数me[-争-1,右-1]，求直线AB的倾斜 角a的取值范围.
7F 解：(1)当秫=—1时，直线A8的倾斜角“二一；
2
(2)当m^-1时，AB的斜率为
m + 1
因为m + le[-牛,右],
所以 tan(7 = 一-— e (-00, -也]
m + 1
TT 9 TT
综上，a的取值范围是
6 3
变式：经过点P(0,-1)作直线/,若直线/与连接A(l,-2), 8(2,1)的线段总有公共点.
(1)求直线/斜率上的范围;
(2)直线/倾斜角仅的范围.
解：(1) kPA — —j~~— — -l、kpB - 2 — 0 —1 因为直线/与A8相交，
所以kPA<k<kPB,所以一
(2)由(1)知一IV tana VI,而g[O,tt)
TT
故冲言］『).
(三)反馈练习⑥.
1.
2.
⑴ 0 ； (2)a/^ ； (3) —； (4)斜率不存在.
3.
⑴斜率不存在，a=90 ；
(2) k=0, a=Q ；
k = —1, a=135 .
4.
e[0,—] (― ,^-).
4 2
三：效果检测
1.
(1) V (2) X (3) X (4) X
2.
(-8,-响
,+3).
/、 2冗 5〃、
3.
a g (――,—)；
3 o
«£[-,-)
4 2 2 4