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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第 10讲 最值问题之将军饮马问题
最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压
轴位置。
模型讲解
【基本模型 】
问题：在直线 l 上找一点 P，使得 PA＋PB 的值最小
解析：连接 AB ，与直线 l 交点即为点 P(两点之间线段最短 )
【拓展模型 1】
问题：在直线 /上找一点 P，使得 PA＋PB 的值最小
解析：点 A 作关于 l 的对称点 A'，连接 BA'，与直线 l 的交点即为点 P，此时 PA＋PB 的最小值即为线段
BA′的长度．
【练习】
1、尺规作图：在直线 MN 上找一点 P，使得∠ APN ＝∠BPN．(保留作图痕迹 )
【模型拓展 2】
1、如图，已知点 P 为定点，定长线段 AB 在直线 MN 上运动，在什么位置时， PA＝PB 最小？
思维转化：将线段 AB 移动，点 P 不动，理解为线段 AB 不动，点 P 在直线 CD 上移动，将模型转化为
最基本模型
【模型拓展 3】
问题：∠ MON 内一定点 A，点 P、Q 分别为 OM、ON 上的动点，求△ APQ 周长的最小值．
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解析：点 A 作关于 ON 和 OM 的对称点 A 、A ，，连接 A A ，与 ON、OM 交点即为 Q、P，线段 A A 的长
1 2 1 2 1 2
度即为△ APQ 周长的最小值．
基本结论：
①△A OA 必为等腰三角形，且腰长等于线段 OA 的长．
1 2
②∠A OA ＝2∠MON ．
1 2
四边形 ABPQ 周长最小的模型，最小值即为线段 AB＋A'B'的长度和．
【模型拓展 4】
问题：求 AB＋BC ＋CD 的最小值问题
解析：作点 A 关于 ON 的对称点 A'，点 D 关于 OM 的对称点 D′，连接 A'D′，最小值即为线段 A'D'
的长度．
(作点 A 和点 D 的对称点的过程中，也可以直接将 OM、ON 整个对称过去，使得图形更加完整 )
【模型拓展 5】
MN 垂直两平行线，求 AM＋MN＋NB 的最小值模型．
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其中 MN 为定值，故只需求 AM＋NB 的最小值，将点 A 向下平移 MN 的长度得到 A′，连接 A′B，线段
A′B 的长度即为 AM＋NB 的最小值
直线 l 上有一长度不变线段 MN 移动，求 AM＋MN＋NB 最小值的模型．
将 A 点向右平移 MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为 MN ＋A B
2
【例题讲解】
例题 1、如图，在平面直角坐标系中， Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 (3 ， 3 )，
1
点 C 的坐标为 ( ，0)，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为 ．
2
解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP ，过 D 作 DN⊥OA 于 N，
则此时 PA＋PC 的值最小，
∵DP＝PA，∴ PA＋PC ＝PD ＋PC＝CD，∵B(3， 3 )，∴ AB ＝ 3 ，OA＝3，
AB 3
∵tan∠AOB＝ ＝ ，∴∠ AOB ＝30 °，∴ OB＝2AB＝2 3 ，
OA 3
1 1 3 3
由三角形面积公式得： ×OA×AB ＝ ×OB×AM，∴AM＝ ，∴AD＝2× ＝3，
2 2 2 2
∵∠AMB＝90°，∠ B＝60°，∴∠ BAM＝30°，∵∠ BAO ＝90°，∴∠ OAM＝60°，
1 3 3
∵DN⊥OA，∴∠ NDA＝30 °，∴ AN ＝ AD ＝ ，由勾股定理得： DN＝ 3 ，
2 2 2
1 1 3 31
∵C( ，0)，∴CN＝3﹣ ﹣ ＝1，在 Rt△DNC 中，由勾股定理得： DC＝ ，
2 2 2 2
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即 PA＋PC 的最小值是 ．
2
【思考】
1
若把题中条件点“ C 的坐标为 ( ，0)”改为“点 C 为 OA 边上一动点”，其它条件不变，那么此时
2
PA＋PC 最小值又是多少呢？
3 3
解答：∵ PA＋PC＝PC ＋PD ＝CD≥DN＝ 3 ，∴PA＋PC 的最小值为 3 ．
2 2
例题 2、某长方体的长、宽、高分别为 4、3、5，
(1) 如图 1，点 A、B 分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点 A 沿长方体侧面爬到点 B，则最短路线
长是多少？
(2)如图 2，点 A、C 分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈
到达点 C，那么所用细线最短长度是 ．
(3) 如图 2，点 A、C 分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕三圈
到达点 C，那么所用细线最短长度是 ．
(4) 如图 3，已知圆柱高 4 米，底面周长 1 米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱 3 圈(如图 )，那么螺
旋形花圈的长至少 米．
答案：
(1) 74
(2) 221
(3) 1789
(4) 9 2 16
例题 3、如图，在五边形 ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90 °， AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在
BC、DE 上分别找一点 M、N．
(1) 当△ AMN 的周长最小时，∠ AMN ＋∠ ANM＝ ；
(2)求△ AMN 的周长最小值．
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解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 ED 于 N，则 A′A″即为△ AMN 的周
长最小值．
⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，∠BAE＝120°，∴∠AA ′A″＋∠ AA ″A′＝60 °，
∠AA ′A″＝∠ A′AM，∠ AA ″A′＝∠ EAN，∴∠ CAN＝120 °－∠AA′A″－∠AA″A′＝60 °，
也就是说∠ AMN ＋∠ ANM＝180°－60°＝120°.
⑵过点 A′作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，
∵AB ＝BC＝1，AE ＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE ＝4，
则 Rt△A′HA 中，∵∠ EAB＝120°，∴∠ HAA′＝60°，
1
∵A′H⊥HA，∴∠ AA″H＝30°，∴ AH＝ AA′＝1，∴A′H＝ 3 ，A″H＝1＋4＝5，
2
∴A′A″＝2 7 ，
例题 4、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE＝1，长为 2 的线段 MN 在 AC 上运动．
(1) 求四边形 BMNE 周长最小值；
(2) 当四边形 BMNE 的周长最小时，则 tan∠MBC 的值为 ．
解：作 EF ∥AC 且 EF＝ 2 ，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN ＝ 2 ，延长 DF 交 BC 于 P，
作 FQ ⊥BC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E′，则 CE′＝CE＝1，将 MN 平移至 E′F′处，
则四边形 MNE ′F′为平行四边形，
当 BM＋EN ＝BM＋FM＝BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小，
由∠FEQ＝∠ ACB ＝45 °，可求得 FQ＝EQ＝1，
∵∠ DPC＝∠ FPQ，∠ DCP＝∠ FQP，∴△ PFQ ∽△ PDC，
PQ PQ PQ 1 2 8
∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得： PQ ＝ ，∴ PC＝ ，
PQ QE EC CD