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基于ROUCHE定理的稳定性判据 第26卷第6期
1997年12月
信息与控制
InformationandControl
,
Dee..1g97
.
基于ROUCHE定理的稳定性判据
墨隆.
(四川轻化工学院电子工程幕自贯643033)1P卜]
得到有关单输入单输出摘要应用Rouche定理于线性定常幕统的稳定性分析.
(SISO)系
(MIMO)系统,导出了鉴定多变量系
.'. 关t调型曼墨苎,零点,撮点,爿据u=i拣I
1引言
典型Nyquist翔据和广义Nyquist翔据已分别成为单输入单输出(SISO)系统和多输入多
输出(M1MO),要找出开环不稳定
极点数和由开环传递函数作出的Nyquist图绕临界点(一1,j0)的总圈数,应用Nyquist判据
时,开环不稳定极点数很大时,特别是在多输入多输出系统的状况下,直观地在复平面上作出
Nyquist图并计算绕临界点的圈数,,有必要谋求一种快
速浏览系
,正好能达此目的.
文献[1,2]提出的对称Rouche定理减少了典型Rouche定理的保守性,为单输入单输出系统
提供了更精确简便的稳定性预计.
本文首先应用对称Rouche定理分析SISO系统的稳定性,得到一种不等式形式的稳定性
,导出了鉴定多变量系统稳定性的一种不等式形式的充足
,MIMO系统的闭环稳定性能够通过数值不等式很快获得检查,而不必计算
Nyquist图的圈数.
2有关SISO系统稳定性的不等式判据
假定亚纯函数f(s)和g(s)在复平面的闭域D的边界aD上没有极点和零点,即f(s)和
g(s),分别代表函数,()
持续时间系统中,D由复平面C上的Nyquist围线所拟定;而在离散时间系统中,D由复平面
上圆心位于原点的单位圆所拟定.
现在来陈说对称Rouche定理,其证明可在文献[3]中找到.
,(j)和g(j)满足
lfCs)一g0)I<l,0)I4-I譬")I,Vs?aD(1)
鼬z,一PI—z|一P|
推论1如果fCs)和g()满足
Re(,(s)g"))4.-If.(s)g(s)I>O,Vs?aD(2)
则Zj-一P,一z-一Pf
l996—08—12收稿
信毫与拄制26畚
其中f.()代表,()的共轭复数.
()=1,正如文献[1]指出的那样,推论l能够
当作广义的无源性概念,它有明显的几何意义,即,()在aD上的值域是豫负实轴以外的整个
复平面.
圈1反馈系统
为了应用定理1分析图1所示SISO系
统,设,()=[1十口()]/[1+口(o.)],其中,
假定1+口(oo)~c0nst?,
即口()在右半复平面无极点,就取g()=1;反
之,设g()为包台g)全都不稳定极点的函
(f=1,2,…,m)代表q()的不稳定极
点,且
)(3) )=?(
显然,乙=0,P=尸,_另外,g(OO)=,(?)=1使f(oo)一g(o.)=0<,(o.)+g(o.)=2,这表 明只需在虚轴上检查定理1就行了,也就是说,如果I,(扣)--g()l<l,(扣)I+lg(),则 认为系统是稳定的.
3有关MIMO系统稳定性的一种充足条件
现在将对称Rouche定理推广到矩阵情形,方便能用于多变量系统的稳定性分析. 矩阵函数F()代表含有个输入和个输出的线性定常系统(事实上,对应于图1所示 的回差矩阵J+0()).如果存在一种矢量,且矿一1,有F(s)7/=0,则称复平面上的点为 F(5)的零点,()的零点,则称为F()的极 ()是实有理传递函数矩阵,能够证明,F()的零点正好是F()的传输零点,后者可
通过Smith—McMillan公式定义.
在背面的讨论中排除同时是F() F()的零点数和极点数,
定理2对于矩阵函数F(),如果
l1F()<(F())+1,V5?aD(4)
则Z,一P,
其中lIF()}1:(F())是F()在固定点的谱范数,而(F())和(F())分别代表F()的. 最大和最小奇异值.
证明让在aD上取值,令{n())__为F()的特性函数,即
det(r(5),.一F"))=0,Vf'
考虑到线性代数中有lrAs)I>(F())和l九()一1I?lF(),于是 lrI()一1I<ln(5)l+1
因此,根据定理2,n()在aD上的值域是除了负实轴以外的整个复平面,当沿aD变化一
周时,n(5)(F(s))=lln(),于是det(F(s))的辐角增量等于全部 nis),基于复变量理论的辐角原理,定理得证.
6期是抬矗t基于ROUCHE定理前t定性爿据
如果 推论2设F(s)和G(s)维散相似且G(5)在aD上可逆.
(F))
IIF()一GO)II<(G0))+(G)),V?aD(5)
融z-一P-
其中7(G())=(G))(G6))是G(D的条件数.
证明令W(s)=F(s)G-'(5),于是有Z=+和P一P+.注意到
IfIo)一0?IIF(s)一GO)I10G(5)=If,(5)一G)ll/(G)) 和
((s))?(,(5))(G-1(5))=(F(s))(G(s)) 这两个与定理2有关的不等式表明Z—P,,z和P两者计及的
零点和极点有可能在,()和G()之问抵消.
为了将定理2应用于多变量系统的稳定性分析,
定系统,即开环传递函数Q(s),假定L+Q(..)一COnSt,且
det(L—Q(..)?,允许作这样的假定. 令F()一(L+Q())(L+Q(..)).显然,闭环搬点决定于F(s),系统稳 ,IiF(..)<(,(..))+1=,如果 lIF(扣)一L8<(,(扣))+1—0F-1(?)ll+1,V
则z=P,=o,因而系统是稳定的.
+Q(~)=const,且det(L+Q(..)? ()一(I.+Q())(L+Q(o.)),开环不稳定性意昧着F-1(s)在右半平面必然有对应 于输入方向的零点,其中,一1.
F()可作以下的因式分解[.
'
F'(5)='(5)?B.()(6)
其中F:'()在右半平面投有零点,而B.()对应于有关P的全通因子 L一器(7)
对于任何的sED和s=/=p.,有
?-J_一(8)
'夸B0)=IIB()(9)
于是B(..)一L和B(扣)B(扣)一L.
现在选择G(s)=B..(s),并考虑到
0F(..)一G(..)=0<(F(..)TG(..))+(G(?))=2
和(F())=(G(弘))一l
得11F(fio)一G(jro)l1=_1F(jto)Ll_7(G(』?))=1
信息与控?26眷
因此,根据推论2,如果IIF.(扣)一J-1l<!(F.(扣))+l,则闭环系统是稳定的 4结论
应用Rouche定理导出的稳定性爿据属于代数办法,应用这种办法只需要计算一十数值
,因
为在这种情
况下应用Nyquist判据作Nyquist图,往往是极其麻烦和困难的.
参考文献
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, ,,Addison—Wesley?1989
RoUCHETHEOREMBASEDSTABlLITYCRITERII)N
WUZhilong
(脚~?S蚺hofL~'ght&c^Tech?Zi&ong643033)
AbstractT11ispaperappliesRouchetheoremtolineartime-ilwariantsystemanalysisandprovldesasta-
bilitycriterionininequalityfOrmforsingle-inputsingle-output(slSo)
extendedtomulti-inputmulti-output(MIMO)systemsandasufficientconditionofstabilityformuhivariable
systemtheory.
Xwordsmultivariablesystems,geros, 作者介绍
吴治隆,,神蛀罔蝽,智能信息赴毫等.
《智能控制系统——含糊逻辑?专家系统?神经网络控制》出版 王耀南专家着的'——模期逆辑?专象摹毵?抻经网络控制'巳由翻南大学出版社fl【
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蔡自兴童谭生