文档介绍：序列的傅里叶变换(DTFT) ——非周期序列的频谱
可从 z 变换引出序列的傅里叶变换,也可直接给出定义。序列 x(n)的 z 变换为
由s-z平面的映射关系z= e sT可知,s平面的虚轴对应于z平面上的单位圆。
如果X(z)在单位圆上是收敛的,则把单位圆上的z变换定义为序列的傅立叶变换X(e j),表示为
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2. 物理意义
连续信号的傅里叶变换是
比较两式,有许多相仿之处:
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e j t e jn :前者是连续信号不同频率的复指数分量;后者是序列在不同频率的复指数分量。
:前者是模拟角频率;后者是数字角频率。
x(t) x(n):x(t)连续时间信号在时域的表示,可分解为一系列不同频率的复指数分量的叠加,分量的复振幅为X();x(n)是离散时间信号在时域的表示,可分解为不同数字角频率分量的叠加,分量的复振幅为X(e j)。
X() X(e j) :X()是连续信号的频谱密度,是频谱的概念;X(e j)是序列的傅里叶变换,与X()在连续信号傅里叶变换的表达式中一样起着相同的作用,可以看作是序列的频谱。
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X(e j)是的复函数
X(e j) =X(e j) e j()
= Re[X(e j)] + jIm[X(e j)]
X(e j)称为幅度谱, ()称为相位谱, X(e j)表示序列x(n)的频域特性,称为序列的频谱。
序列的傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换(DTFT-----Discrete Time Fourier Transform),通常用以下符号表示对x(n)取傅里叶变换或逆变换。
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3. 特点
因为e j是以2为周期的周期函数,而X(e j)是e j的函数,所以X(e j)也是以2为周期的连续周期函数。
4. 序列傅里叶变换的存在条件
因为序列的傅里叶变换是单位圆上的z变换,所以它要存在,序列的z变换在单位圆上必须收敛,即
也就是
存在条件:序列必须绝对可和。
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例3-2 若x(n) = R5(n) = u(n) u(n 5) ,求此序列的傅里叶变换X(e j) 。
解: X(e j) = DTFT[ x(n) ]
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X(e j)
0
2/5 4/5 6/5 8/5 2
-2
()
0
0 1 2 3 4
1
n
x5(n)
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例3-3 若离散时间系统的理想低通滤波器频率特性如图示,求它的傅里叶逆变换h(n)。
解: h(n) = IDTFT[ H(e j) ]
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H(e j)
c=/4
c
n
0
h(n)
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离散傅里叶级数(DFS)Discrete Fourier Series
已讨论三种类型信号的变换
(1)连续非周期信号——时域连续,频域连续;
(2)连续周期信号——时域连续(周期),频域离散
(3)非周期序列——时域离散,频域连续(周期)
(4)周期序列——???
从以上三种信号在时域和频域上的对称性中总结出某些规律,定性地推断出离散周期序列频谱的基本特点,然后定量描述。
傅里叶变换在时域和频域中的对称规律
(1)非周期连续时间信号的频谱
连续时间与连续频谱
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(2)周期信号的频谱
连续时间与离散频率
当连续时间信号为周期函数时,其傅里叶变换具有离散特性,呈冲激序列。时域上的周期化将产生频谱的离散化。
(3)序列的频谱
离散时间与连续频率
非周期性的离散时间函数的傅里叶变换呈周期性的连续函数。DTFT就是这种情况。时域上的离散化将产生频谱的周期化。
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