文档介绍：均值不等式
被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数,简记为“调几算方”。
其中:,被称为调和平均数。
,被称为几何平均数。
,被称为算术平均数。
,被称为平方平均数。
一般形式
设函数(当r不等于0时);(当r=0时),有时,。
可以注意到,Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即。
特例
⑴对实数a,b,有(当且仅当a=b时取“=”号),(当且仅当a=-b时取“=”号)
⑵对非负实数a,b,有,即
⑶对非负实数a,b,有
⑷对实数a,b,有
⑸对非负实数a,b,有
⑹对实数a,b,有
⑺对实数a,b,c,有
⑻对非负数a,b,有
⑼对非负数a,b,c,有
在几个特例中,最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM不等式):
当n=2时,上式即:
当且仅当时,等号成立。
根据均值不等式的简化,有一个简单结论,即。
排序不等式
基本形式:
排序不等式的证明
要证
只需证
根据基本不等式
只需证
∴原结论正确
棣莫弗定理
设两个复数(用三角形式表示),则:
复数乘方公式:.
圆排列
定义
从n个不同元素中不重复地取出m(1≤m≤n)个元素在一个圆周上,叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列,则认为这两个圆排列相同。
计算公式
n个不同元素的m-圆排列个数N为:
特别地,当m=n时,n个不同元素作成的圆排列总数N为:。
费马小定理
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p)。即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式
组合数C(k,n)的定义:从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
基本的组合恒等式
nC(k,n)=kC(k-1,n-1)
C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
∑C(i,n)=2^n
∑[(-1)^i]*C(i,n)=0
C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)(这个性质叫组合的【聚合性】)
C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)
C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)
韦达定理
逆定理
如果两数α和β满足如下关系:α+β=,α·β=,那么这两个数α和β是方程的根。
通过韦达定理的逆定理,可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5] 
推广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系,还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
定理:
设(i=1、2、3、……n)是方程:
的n个根,记k为整数),则有:。[
实系数方程虚根成对定理:
实系数一元n次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根,则=a-bi也是一个根。
无穷递降法
无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为:
假