文档介绍：Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse数学均值不等式被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数,简记为“调几算方”。其中:,被称为调和平均数。,被称为几何平均数。,被称为算术平均数。,被称为平方平均数。一般形式设函数(当r不等于0时);(当r=0时),有时,。可以注意到,Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即。特例⑴对实数a,b,有(当且仅当a=b时取“=”号),(当且仅当a=-b时取“=”号)⑵对非负实数a,b,有,即⑶对非负实数a,b,有⑷对实数a,b,有⑸对非负实数a,b,有⑹对实数a,b,有⑺对实数a,b,c,有⑻对非负数a,b,有⑼对非负数a,b,c,有在几个特例中,最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM不等式):当n=2时,上式即:当且仅当时,等号成立。根据均值不等式的简化,有一个简单结论,即。排序不等式基本形式:排序不等式的证明要证只需证根据基本不等式只需证∴原结论正确棣莫弗定理设两个复数(用三角形式表示),则:复数乘方公式:.圆排列定义从n个不同元素中不重复地取出m(1≤m≤n)个元素在一个圆周上,叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列,则认为这两个圆排列相同。计算公式n个不同元素的m-圆排列个数N为:特别地,当m=n时,n个不同元素作成的圆排列总数N为:。费马小定理费马小定理(FermatTheory)是数论中的一个重要定理,其内容为:假如p是质数,且(a,p)=1,那么a(p-1)≡1(modp)。即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。组合恒等式组合数C(k,n)的定义:从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n∑[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)(这个性质叫组合的【聚合性】)C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)韦达定理逆定理如果两数α和β满足如下关系:α+β=,α·β=,那么这两个数α和β是方程的根。通过韦达定理的逆定理,可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5] 推广定理韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系,还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。定理:设(i=1、2、3、……n)是方程:的n个根,记k为整数),则有:。[实系数方程虚根成对定理:实系数一元n次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根,则=a-bi也是一个根。无穷递降法无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为:假设方程有解,并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。孙子定理又称中国剩余定理,中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组:有解的判定条件,并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。中国剩余定理说明:假设整数m1,m2,...,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2,...,an,方程组有解,并且通解可以用如下方式构造得到:设是整数m1,m2,...,mn的乘积,并设是除了mi以外的n-1个整数的乘积。设为模的数论倒数:方程组的通解形式:在模的意义下,方程组只有一个解:同余同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:1)a≡a(modd)2)a≡b(modd)→b≡a(modd)3)(a≡b(modd),b≡c(modd))→a≡c(modd)如果a≡x(modd),b≡m(modd),则4)a+b≡x+m(modd)其中a≡x(modd),b≡m(modd)5)a-b≡x-m(modd)其中a≡x(modd),b≡m(modd)6)a*b≡x*m(modd)其中a≡x(modd),b≡m(modd)7)a≡b(modd)则a-b整除d欧拉函数φ函数的值通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。(注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4