文档介绍：逻辑斯蒂方程
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逻辑斯蒂方程(Logistic Equation)
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逻辑斯蒂方程的推导
当一种新产品刚面世时,厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数,这样厂家便于组织生产,商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢?
:
1. ,对这种产品的需求也饱和了,设饱和水平为a;
2. 假设在时刻t,社会对产品的需求量为x=x(t),需求的增长速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t)之乘积,记比例系数为k ;
根据上述实际背景的两个特征,可建立如下微分方程:
.......................(1)
分离变量,得:

两边积分,得:

其中:
从而,通解为:
......(2)
其中,B和b为正常数,可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation),式(2)称为逻辑斯蒂曲线。
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逻辑斯蒂方程的基本性质
=O时,x(t)的值为:;
(t)的增长率,因此,x(t)是增函数;
,将很大,,于是

x(t)近似于依指数函数增大,销售速度不断增大;
,越来越接近于零,分母越来越接近于1,销售速度开始下降,x(t)的值接近于a(饱和值)。
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逻辑斯蒂方程的应用

人口的增长不是呈指数型增长的,这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响,最终人口的增长将减慢下来。实际上,人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
2. 信息传播问题
所谓信息传播可以是一则新闻,一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期,知道这一信息的人很少,但是随时间的推移,知道的人越来越多,到一定时间,。若以t表示从信息产生算起的时间,P表示已知信息的人口比例,则逻辑斯蒂方程变为:
...................(3)
例如,当某种商品调价的通知下达时,有10%的市民听到这一通知,2小时以后,25%的市民知道了这一信息,由逻辑斯蒂方程可算出有75%的市民了解这一情况所需要的时间。
在方程(3)中,由t=0时,P=10%可得 B=9;再由t=2时,P=25%可得,。
当P=75%时,有:

解得t=6,即6小时后,全市有75%的人了解这一通知。

例如,某种商品的销售,开始时,知道的人很少,销售量也很小。当这种商品信息传播出去后,销售量大量增加,到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如,这种商品饱和量估计a=500(百万件),大约5年可达饱和,常数b经测定为b=lnl0,B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。
由,有:
(百万件)
,这样可以做到有计划地生产。
逻辑斯蒂方程的