文档介绍：走近逻辑斯蒂差分方程——高中数学新课标学****札记舒昌勇(江西省上犹县教师进修学校341200)教育部新颁布的普通高中《数学课程标准》(实验)的“内容标准”中选修课系列4的“数列与差分”专题“内容与要求”第4点为“通过具体实例(如种群增长等),体会方程xn+1=kxn(1-xn),用迭代法分别对k取一些特殊值﹝如0<k≤1,1<k≤3,k=,k=,k=﹞的情形,讨论xn的变化,初步了解非线性问题的复杂性”.笔者近期在高中数学新课标学****中,对简单差分方程xn+1=kxn(1-xn)这一高中数学新内容作了较详细的学****笔记,现整理如下:1方程的背景——马尔萨斯人口方程与虫口模型1798年,英国经济学家马尔萨斯发表了著名的《人口论》[1],提出了人口增长模型,它用一个线性迭代方程描述:Xn+1=(1+r)Xn①式中Xn是第n代人口,Xn+1是第n+1代人口,由式①得:r=为人口增长率,利用er=1+r+++……②根据本模型的实际背景,略去式②中的2次以上各项,整理得:r=er–1③③式代入①式得:Xn+1=erXn④设X0是第0代人口,则各代人口数依次为X1=erX0,X2=e2rX0,X3=e3rX0,……④计算,×(包括陆地和海洋)×1014平方米,、疾病、战争等生存环境因素的影响,因此后来的学者对它进行了修正,其方法是在式①的右方加上一个修正项,变为:Xn+1=(1+r)Xn–bXn2⑤bXn2是反应环境限制因素引起的非线性项,表明这种制约导致Xn+⑤中,当人口较少即Xn较小时,非线性项bXn2影响很小而可以忽略,则⑤式又回到马尔萨斯人口模型式①.令K=1+r⑥代入⑤则得:Xn+1=KXn–bXn2⑦对⑦式进行适当变换,令x=,则X=⑦式变为:=k·-b·()2即xn+1=kxn(1-xn)[2]⑧在这个方程中,xn增大时,1-xn减小,所以同时考虑了鼓励和抑制两种因素,而自然界和人类社会的大部分系统在其变化的过程中,都会受到这样正负两方面因素的影响,因此这个差分方程具有普遍的意义和用途[3].生态学家将它应用于研究种群数量的变化,,美国普林斯顿大学数学生态学家R·梅在研究昆虫群体繁殖规律时的模型就是这个著名的差分方程xn+1=kxn(1-xn),因此它被人们称为“虫口模型”(虫口即昆虫的数目,语法上与人口用法相同).数学上,它是逻辑斯蒂(Logistic)映射f的离散形式[4],[5],[6].1976年,R·梅在英国《自然》杂志上发表了研究逻辑斯蒂方程的成果——《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》[7],[8],论文引起学术界的极大关注,它的内容已远远超越了生态学的畛域,揭示出逻辑斯蒂方程深处蕴藏的丰富内涵,——一个系统怎样走向混沌R·梅其实是对这个简单的差分方程进行了大量的数值计算,试图通过所得数据的分析,,发现随K值的增大,相应于K值的迭代运算结果趋向于不同的状态