文档介绍：第二章 正交变换、K-L变换 与离散余弦变换
Chapter 2 Orthogonal Transform, K-L Transform and Discrete Cosine Transform
本章主要内容
信号矢量空间的概念
正交分解和正交变换
K-L分解
DCT变换
1 信号矢量空间的概念
空间的基本概念
从数学的观点看,“集合”等效于空间。比如,实数集合构成一维实数空间,记为R1,复数集合构成一维复数空间,记为C1。
一般我们研究的是带有一定规律的“空间”,最常见的是“线性空间”。粗略的说,线性空间指这样一种集合,其中任意两元素的线性组合得到集合内的另一元素。
把集合中的元素和信号之间建立对应关系,我们就可以把线性空间理解为信号矢量空间。
常见的线性空间
连续时间信号空间L,定义在复数或实数域上,时间变量为实数:无穷维空间
离散时间信号空间l,定义在复数或实数域上,自变量为整数:无穷维空间或有限维空间
范数(norm)
范数是矢量长度的度量,与信号的能量特性相关
线性空间中元素x的范数以符号||x||表示,满足以下公理
(1)半正定性: , iff x=0
(2)正齐性:
(3)三角不等式:
的范数
空间元素的p( p为实数)阶范数定义为:
常用范数为一阶,二阶和无穷阶范数,其中在两维或三维实数空间中,二阶范数就是矢量的长度,称为欧式(Euclidean)范数或欧式矩。
L和l的范数
信号空间1、2和∞阶范数的 物理意义
信号作用的强度
信号的能量
信号的幅度
赋范线性空间
定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。
常见的信号空间:
注意:L和l不是赋范空间,必须按照范数存在的三条公理定义了某种形式的范数才使得相应的线性空间成为赋范线性空间。
内积(inner product)
范数是矢量长度概念的推广,是信号矢量自身的重要性质。为研究信号矢量之间的相互关系,需要引入内积的概念。
内积的定义:对线性空间中任意两个元素x和y,存在一个数<x,y>(对定义在实数域上的空间,这是一个实数;对定义在复数域上的空间,这是一个复数),这个数满足一些特定的公理,我们称<x,y>是x和y的内积。