文档介绍：2000 年大连理工大学硕士生入学考试试题数学分析
一、从以下的第一到第八题中选取 6 题解答,每题 10 分
1
1. 证明: f( x ) 于区间(,1) (其中 0 1 )一致连续,但是于(0,1) 内不
x 0 0
一致连续
2. 证明:若 f( x )于[ a , b ] 单调,则 f( x )于[ a , b ] 内 Riemann 可积
3. 证明:Dirichlet 函数:
0, x为无理数

f( x ) 1 p 在所有无理点连续,在有理点间断
,x (有理数)
q q
4. 证明:若 f( x ) C ( a , b ),(指( a , b ) 上的连续函数),且任意(, )(a , b ) ,

f( x ) dx  0,那么 f( x ) 0 , x( a , b )


5. 证明:  nenx于(0,) 不一致收敛,但是对于 0, 于[ , ) 一致收敛
n1
6. 证明:
 1
x4 sin , x  0
f( x )  x ,在 x=0 处有连续的二阶导数
0,x  0

7. 利用重积分计算三个半长轴分别为 a,b,c 的椭球体的体积
8. 计算第二类曲面积分: xdydz ydzdx  zdxdy ,其中,

是三角形(x, y , z  0, x  y  z  1 ),法方向按与 x , y , z 轴成锐角为正。
二、从 9-14 题中选 4 题解答
a12 a 2 ...  nan a
liman  a ,证明: lim 
n n  n2 2
xdy ydx
: I ,其中,Γ为包含原点的一条分段光滑闭曲线,
 x2 y 2
取正方向。
x2 y 2 z 2
I x3 dydz  y 3 dzdx  z 3 dxdy ,S 为椭球面1的
S a2 b 2 c 2
外侧。
1
n(x ) 0,  n  C [  1,1],  n ( x ) dx  1, n  1,2,3....,对于任意的 c>0,
1
n (x )在[ 1,  c ][ c ,1] 一致收敛于 0。证明:对于任意 g( x ) C [  1,1] :
limg ( x )n ( x ) g (0)
n
:一个严格递增函数的间断点只能是第一类间断点

14. f( x , y )于(, ) [ a , b ) 连续, I ( y )  f ( x , y ) dx 于 y[ a , b )收敛,但是


f( x , b ) dx发散,证明, I( y )于 y[ a , b ) 非一致收敛

大连理工大学 2001 年硕士生入学考试数学分析试题
一. 从以下的 1 到 8 题中选答 6 题
1. 证明: f( x )  x2 在区间[0,M ] 内一致连续( M 为任意正数),但是在[0,) 不一
致连续
2. 证明:若 f( x ) 在[a , b ]内连续,那么 f( x ) 在[a , b ]内 Riemann 可积.

3. 证明:若1,那么广义积分 sin x dx 收敛
1
4. 证明:若 f( x ) , g( x ) 为区间(a , b ) 上的连续函数,对任意的(, )(a , b ) 有:

f( x ) dx g ( x ) dx ,那么, f( x ) g ( x ) 于(a , b )


证明若收敛那么nx 在一致收敛
5. :  an ,  an e [0,)
n1 n1
2
e x , x  0
6. 已知: f( x ) ,求 f "(0)
0,x  0
(x at ) ( x  at ) 1 x at
7. 已知:u( x , t )( ) d .
2 2a x at
其中, 和分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算
2u( x , t )  2 u ( x , t )
 a2
t2  x 2
8. 计算,半径为 R 的球的表面积
二. 从 9 到 14