文档介绍：传热与流体流动的数值计算
[美] . 帕坦卡著
同济大学机械工程学院
朱彤
第四章热传导
4-1 本章的对象
着手构建一个求解通用微分方程的数值方法
构成一个求解通用微分方程的数值方法,略去对流项。
其他一些物理过程也由非常类似于热传导方程的数学方程所控制。
本章完成了随后几章所需要的若干预备性的工作,提出代数方程的求解方法。
基本方程
稳态一维问题的控制微分方程:
推导出离散化方程
4-2 一维稳态热传导
P
W
E
x
w
e
Dx
(dx)w
(dx)e
-网格间距
网格点距离(δx)e与(δx)w没有必要相等。
虽然只有在网格相当细时才可能得到精确的解,但是在因变量随x变化相当慢的区域没有必要采用细的网格;在T~x变化较陡的区域则需要细的网格。
误区:不均匀网格的准确度比均匀网格差。
设计一个合适的非均匀网格:
从解的定性预计得到指导。
用初步粗网格的解求得T~x变化形式;然后构成合适的非均匀网格。
先进行预备性的实验或探索性试验,然后应用得到的数据资料确定在最终的实验中所应安装的探头位置和数目。
-界面导热系数ke
最直截了当的方法是假设k在P点和E值间呈线性变化:
其中插入因子
在某些情况下这种简单化会导致相当不准确的结果;而且这样做不可能精确处理组合材料中可能遇到的导热系数的突然变化。
一种替代方法:
得到一个通过下式描述的界面热流密度qe的良好表达式:
P
E
x
w
e
(dx)e
(dx)e+
(dx)e-
()
()
()
讨论这样一种情况:围绕着网格点P的控制容积由具有均匀导热系数kP的材料填满,围绕着E点的控制容积由导热系数kE的材料填满,对于P点和E点之间的组合板,根据稳态无内热源一维导热的分析,有:
合并得:
当界面l位于P和E之间的中点时,有fe=,有:
上式说明ke是kP和kE的调和平均值,而非给出的平均值。
()
()
()
应用于系数的定义式,得到aE:
其效能可由两种极限情况看出:
令kE 0,则有ke 0( ),即一个绝热层表面上的热流密度为0。
令kP>>kE,那么ke=kE/fe () 。表明界面的导热系数ke完全与kP无关; ke不等于kE ,而是它的1/ fe 。
目的是通过()得到一个正确的qe,应用(),得:
当kP>>kE时,温度Tp将一直扩展到界面e,而温降Tp-TE将实际上发生在距离(x)e+内。
两个极限情况讨论表明这个公式可以适用于导热系数突然变化的情况,而无需在发生突变的邻近区域采用极细的网格。
()
()
-非线性
即便是在热传导问题中我们也经常遇到非线性的情况。如离散化方程中的系数本身与T有关。我们用迭代的方法来处理。过程包括:
一开始在所有各个网格点上,猜测或估计一个T值。
由这些估计的T值,计算出离散化方程中的系数的试探值。
解名义上的线性化方程组,得到一组新的T值。
以这些T值作为较好的估计值,返回到第二步并重复整个过程,直到这种进一步的重复计算(迭代)不再引起T值任何有意义的变化为止。
这种最终不变的状态叫做迭代的收敛。与之相反,迭代永远也不会收敛到一个解的状态称为发散。
-源项的线性化
当源项S与T有关时,用方程()给出的线性形式表达。
当S是T的一个非线性函数时,必须把它线性化,即规定SC和SP的值。有很多方法可以把给定的S表达式分解成SC和SP。如:
已知S=4-5T3。某些可能的线性化:
1. SC =4-5Tp*3,Sp=0。这种做法不能很好利用已知S~T关系的有利条件。
2. SC =4, Sp= -Tp*3 。看起来像准确的线性化,但已知的曲线比这一关系所反映的曲线要陡。
3. 推荐的方法:
在点Tp* ,所
选择的直线与
S~T曲线相切。
4. SC =4+20Tp*3,Sp= -25Tp*2。这一线性化比已知的S~T曲线陡,使收敛速度降低。
四种可能的线性化与实际曲线比较如图: