文档介绍：第四章量纲分析和相似原理
第一节量纲分析的意义和量纲和谐原理
一、量纲的概念
单位(Unit) :量度各种物理量数值大小的标准量,称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。
量纲(Dimension):撇开单位的大小,表征物理量的性质和类别。如长度量纲为[L]。——“质”的表征。
基本量纲(Fundamental Dimension):具有独立性的,不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取质量M,长度L、时间T、即[M- L-T]为基本量纲体系。
导出量纲(Derived Dimension):是指由基本量纲导出的量纲。
量纲
[A]= L2
[ρ]= ML-3
[ F ]= MLT -2
量纲公式:
某一物理量q的量纲[q]都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示
几何学量纲:= 0,0,=0
运动学量纲:= 0,0,0
动力学量纲:0,0,0
分类
二、无量纲量
当
则
[q]= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到;可由几个有量纲物理量乘除组合,使组合量的量纲指数为零得到。
特点:
(1)无量纲量的大小与所选单位无关,具有客观性;
(2)不受运动规模的影响,模型与原型常用同一无量纲数;
(3)在超越函数(对数、指数、三角函数)运算中, 均应用无量纲量。
三、量纲和谐原理(Theory of Dimensional Homogeneity)
凡是正确反映客观规律的物理方程,其各项的量纲都必须是一致的,即只有方程两边量纲相同,方程才能成立。这称为量纲和谐原理。
量纲和谐原理的重要性:
b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
a、一个方程在量纲上应是和谐的,所以可用来检验物理方程或经验公式的正确性和完整性。
第二节量纲分析法
一、瑞利法(Rayleigh)
瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。
具体分析步骤如下:
1、确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量;
2、写出各物理量之间的指数乘积的形式,如:
3、根据量纲和谐原理,即等式两端的量纲应该相同,确定物理量的指数a,b,……p,代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。
应用范围:一般情况下,要求相关物理量个数 n 不超过4个,待求量纲指数不超过3个。
【例4-1】求水泵输出功率的表达式
【例4-2】求圆管层流的流量关系式(P74)
二、布金汉(Buckingham)定理(定理)
若某一物理过程包含n个物理量,即
其中有m个基本量(量纲独立,不能相互导出的物理量)
则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲项所表达的关系式来描述,即
定理的解题步骤:
(1)确定关系式:根据对所研究的现象的认识,确定影响这个现象的各个物理量及其关系式:
(2)确定基本变量:从n个物理量中选取m个基本物理量,一般取m=3,如q1、 q2、 q3。在管流中,一般选d,, 三个作基本变量,而在明渠流中,则常选用H, , 。
(3)基本变量依次与其余物理量组成π项,即
……
(4)满足π为无量纲项,定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
(5)整理方程式
选择基本变量的原则:
1)基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲(M,L,T)出现三个,那么基本变量也选三个;倘若基本量纲只出现两个,则基本变量只须选择两个。
2)选择基本变量时,应选择重要的变量。换句话说,不要选择次要的变量作为基本变量,否则次要的变量在大多数项中出现,往往使问题复杂化,甚至要重新求解。
3)不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的,换言之,基本变量应在每组量纲中只能选择一个。
应用范围:对相关物理量个数 n 没有限制,应用更为普遍。
例用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。已知0与液体的密度,液体的动力沾滞系数,圆管直径D,管壁材料的粗糙度以及管中断面平均流速有关。
解 f(D、 v 、、0 、、)=0
从各独立影响因素中选取D(几何量)、(运动量)、(动力量)为基本量建立(6~3 ) 项:
对 1 :