文档介绍：第二章 单自由度系统振动的理论及应用
§2-1 单自由度系统振动微分方程式的建立
2- 纵向振动微分方程式的建立
系统振动时,振动质量m的位移x,..会产生弹性力kx,..,它们分别与振动质量的位移,速度和加速度成正比,但方向相反.
按牛顿第二定律:作用于质点上所有力的合力等于该质点的质量与沿合力方向的加速度的乘积.
把质量块挂上后,弹簧的静变形量为j:
所以有:
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时,
该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时,
该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
(3)当c=0时,
该方程为单自由度无阻尼受迫振动方程.
2- 扭转振动微分方程式的建立
圆盘的转动惯量为J,在某一时刻t圆盘的角位移为,角速度为.和角加速度为..,在圆盘上施加力矩M(t),系统则作扭转振动,此刻作用于圆盘上的力矩有弹性恢复力矩-k,阻尼力矩c.,外加激振力矩M(t).
根据牛顿第二定律:
故
称为单自由度线性扭转振动系统的运动微分方程式.
2- 微幅摆动微分方程的建立
摆动质量m在任意时刻t的角位移为,角速度为.和角加速度为...系统作微幅摆动时,作用于m上的力矩有弹性恢复力矩-2ka2,阻尼力矩-cl2.,重力力矩-mglsin=mgl和外加力矩M(t).
根据牛顿第二定律:
由
为微幅摆动系统的运动微分方程式.
§2-2 无阻尼单自由度系统的自由振动
设弹簧原长为
在重力的作用下
刚度系数为k
这一位置为平衡位置
弹簧的变形为
称为静变形
当系统受到外界的某种初始干扰作用后,其静平衡状态被破坏,弹性力不再与重力相平衡,产生弹性恢复力使系统产生持续的自由振动.
2- 自由振动微分方程
取静平衡位置为坐标原点,以x表示质量块的位移,并以x轴为系统坐标轴,,在质量块上作用有重力W和弹性恢复力-k(j+x).
上式表明:
只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动
物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力
恢复力
--无阻尼自由振动微分方程的标准形式
令
代入
其解具有如下形式
其中s为待定常数
特征方程的两个特征根为:
微分方程的通解为:
把
代入得:
令:
其中和是积分常数,
由运动的起始条件确定
2- 无阻尼自由振动的特点
1. 固有频率
--周期振动
若运动规律x( t ) 可以写为
T为常数--周期
由式
自由振动的周期为
其中--振动的频率,表示每秒钟的振动次数。