文档介绍：第三节
平面向量的数量积
研
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零
向量a和b,作
=a, =
b,则______就
是a与b的夹角
设θ是a与b的
夹角,则θ的
取值范围是__________
______
θ=0°或θ=
180°⇔____
__,________
⇔a⊥b
【知识梳理】
(1)向量的夹角:
∠AOB
0°≤θ≤
180°
a∥
b
θ=90°
(2)平面向量的数量积:
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量
____________叫做a与b的数量积,记作a·b
投影
_________叫做向量a在b方向上的投影,
_________叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向
上的投影_________的乘积
|a||b|cosθ
|a|cosθ
|b|cosθ
|b|cosθ
(3)数量积的性质:
设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)
①e·a=a·e= _________.
②cosθ=________.
③a·b≤_______.
|a|cosθ
|a||b|
(4)数量积的运算律:
①交换律:a·b=b·a.
②数乘结合律:(λa)·b= _________= _________.
③分配律:a·(b+c)=__________.
λ(a·b)
a·(λb)
a·b+a·c
(5)平面向量数量积的坐标表示:
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则
数量积
a·b=________
模
|a|=_________
夹角
cos θ=_________________
向量垂直的
充要条件
a⊥b⇔a·b=0⇔__________
x1x2+y1y2
x1x2+y1y2=0
(1)a与b为两非零向量,则a⊥b⇔_______.
(2)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|,
特别地,a·a= ____或者|a|=_______,0·a=__.
a·b=0
|a|2
0
(3)平面向量数量积运算的常用公式
①(a+b)·(a-b)=a2-b2.
②(a+b)2=a2+2a·b+b2.
③(a-b)2=___________.
a2-2a·b+b2