文档介绍：该【2024年高考数学全国1卷第12题出处及变式 】是由【小果冻】上传分享，文档一共【5】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2024年高考数学全国1卷第12题出处及变式 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。——对正方体结构的认知和运用+截面面积计算1.〔2024全国1卷理科第12题〕正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等,那么a截此正方体所得截面面积的最大值为〔 〕【解析】注意到正方体12条棱分为三组平行的棱,那么只需与共顶点的三条棱所成角相等即可,注意到正方体的结构,那么平面应为图1中所示,所以只需由图中平面平移即可。最大面积截面如图2所示,,故此题正确答案为A。变式1:〔1994全国联赛填空题第5题〕一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于a,那么sina= 【解析】如上图1,顶点到平面ABC的距离为体对角线的1,那么sina=33a3 = 3变式2:〔2024湖南数学竞赛第8题〕过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S,那么Smax的值为〔 〕Smin3 6 23 26A. B. C. 2 3 3【解析】如图,因为正方体对面平行,所以截面BED1F为平行四边形,那么11S=2SDBED=2′2BD1′h,1与BD1的距离,即当E为中点时,h= 2a〔a为正方体棱长〕,S=2′1′3a′2a=6a2,又因为S 为min 2min 2 2 2max四边形BC1D1F的面积,:〔2024全国高中数学联赛第4题〕在正方体ABCD-A'B'C'D'中,任作平面a与对角线AC'垂直,使得a与每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l,那么〔〕,l不为定值 , 【解析】选B,将正方体切去两个正三棱锥A-A'BD与C'-D'B'C后,得到一个以平行平面A'BD与D'B'C为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱A'B'剪开,展平在一张平面上,得到一个平行四边形A'B'B1A1,如图而多边形W的周界展开后便成为一条与A'A1平行的线段(如图中E'E1),显然E'E1=A'A,'位于A'B'中点时,多边形W为正六边形,而当E'移至A'处时,W为正三角形,易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为3l2与243l2,:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2,过点A1作平面a与1AB,AD分别交于M,N两点,假设AA与平面a所成角为450,那么截面面积的最小值为 .解析:过A作MN的垂线,垂足为T,第一步:寻找T的轨迹:T的轨迹是平面ABCD内,以A为圆心,2为半径的圆法一:〔直观感知,作出线面角并证明〕连接A1T,因为AA1^MN,所以MN^平面AA1T,0过A作A1T的垂线,垂足为Q,易证AQ^平面A1MN,所以DAA1T=45,那么AT=2。1法二:〔运动变化的观点探求轨迹问题〕作一个以AA为轴,母线与对称轴所成角为450的圆锥,过任意一条母线作圆锥的切面A1MN,与平面ABCD的交线为MN,那么AT=2。第二步:求最值法一:〔注意运动中的不变性〕因为A1T=22为定值,且A1T^MN,那么要求截面面积的最小值,只需求MN 的最小值,AT2=MT×NT=4,所以MN=MT+TN32MT=NT。MT×TN=4,那么SDA1MN31′4′222=42,等号成立当且仅当1法二:〔利用二面角实现面积的转化〕切面AMN与平面ABCD所成角为450,由射影面积法知cos450=SDAMN1SDAMN,所以SDA1MN=2SDAMN=2′1′MN′AT=2112MN34211法三:〔等体积法实现面积的转化〕由VA-AMN=VA-AMN得SDAMN3′AA1=3SDA1MN′d,1因为线面角为450,所以d=AA′sin450,所以SDA1MN= 2SDAMN,同上。法四:〔类比勾股定理〕设切点T(x0,y0),那么切线MN方程为x0x+y0y=4,那么求得?4 ?? 4?M? ,0÷,M?0,÷,类比直角三角的勾股定理,猜想截面的平方等于三角直角面的平方èx0 ?è y0?64 16 166416(x2+y2)128和,从而把截面面积的平方化为x2y2+ +x2 y2= +x2y20 0x2y2=x2y200 0 0 00 00 002 2因为x0+y0=432x0y0,即0<x0y0￡2,128所以面积平方的最小值为 =32,面积是最小为424变式5:正四面体ABCD的棱长为26,四个顶点都在球心为O的球面上,P为棱BC的中点,过点P作求O的截面,那么截面面积的最小值为 【解析】当截面与PO垂直时面积最小,设截面半径为OA2-OP2=PA=6,答案为6p变式6:棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD的中点,过B1点,且与平面A1BE平行的正方体截面的面积为〔 〕 【分析】对正方体结构和截面的认知,根据平行作图,得到一个菱形,对角线分别为面对角线和体对角线,:在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有局部液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是 .解析:如图,正方体ABCD-EFGH,此时假设要使液面不为三角形,?÷那么液面必须高于平面EHD,且低于平面AFC. 可以求出液体取值范围为?1,5?è66?【点评】在运动变化中,空间想象能力得到了很好的考查。拓展1:点M为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点,点N为B1C1上一点,2NB1=NC1,DM^BN,假设球O的体积为92π,那么动点M的轨迹的长度为 .拓展2:〔1989高中数学联赛解答题第4题〕三棱锥S-ABC的高SO=3,底面边长为6,过点A向其所对侧面SBC作垂线,垂足为O,在AO上取一点P,是AP=8,那么经PO过点P且与底面平行的截面的面积为 .【答案】3