文档介绍：华中科技大学硕士学位论文
摘要
非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支, 因其能够很好地解释自然界中
各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注. 其中, 多点边值问题起源
于各种不同的应用数学和物理领域, 具有广泛的应用背景, 因而具有重要的研究价值,
是目前研究较为活跃的领域之一.
本文利用锥理论, 不动点理论, Krasnosel’skii不动点定理等研究了几类多点边值
问题正解的情况, 得到了一些新的结果.
根据内容本文分为三章, 主要讨论了两类多点边值问题正解的存在性, 其主要工
具就是非线性分析中的不动点定理:
第一章阐述了问题的历史背景, 发展现状和本文的主要工作.
第二章通过构造Green函数, 借助Krasnosel’skii不动点定理研究了一类奇异多点
边值问题正解的存在性, 这一部分的难点主要是格林函数计算的复杂性,对格林函数
进行上下界的必要性以及技巧性. 同时做为本文的一个注, 也得到了共振情况下正解
的存在性, 推广了别人的结果并举例说明.
第三章研究了一类无穷区间上多点边值问题多正解的存在性. 为了克服区间是
非紧的困难, 我们建立了一个特殊的Banach空间和一个特殊的锥使得定义在无穷区间
上的泛函有较好的性质. 同时我们也得到了一些不等式, 最后利用Avery-Peterson不动
点定理来证明多正解的存在性.
关键词:多点边值问题, 不动点定理, 无穷区间, 奇异, 共振, 正解, 锥
I
华中科技大学硕士学位论文
1 绪论
问题的历史背景及发展现状
常微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题,也是最为重要的课
题之一,有着非常广泛的应用背景. 工程,力学,天文学,经济学,控制论及生物学等领域
中的许多问题都可归结为常微分边值问题.
常微分方程两点边值问题已被深入而广泛的研究,
两点边值问题, 常微分方程多点边值问题可以精确地描述许多重要的物理现象,有着
非常广泛的实际应用背景. 首先,,它可以用来刻画多
种不同材料的导线的电流, 也可应用于某些实际问题的中间过程,就是说,若已知某一
过程若干点的信息,
可以将许多经典的两点边值问题纳入同一个框架, 但由于多点边值问题有其自身固有
的难度,人们对多点边值问题的研究起步相当晚.
1987年, II’in和Moiseev[1]开始讨论二阶非线性常微分方程多点边值问题; 1992年,
Gupta[2]开始研究二阶非线性常微分方程三点边值问题解的存在性; 因为在理论和实
际应用中,二阶非线性常微分多点边值问题更有意义,故之后, 有许多学者都围绕二阶
非线性多点边值问题进行了研究,其中的大部分工作都是研究的二阶多点边值问题解
的存在性. 对于非共振情形的多点边值问题,其研究方法主要是使用不动点定理, 例如
利用Laray-Schauder不动点定理关于这方面的研究可参见文献[2–7]. 对于共振的多点边
值问题,许多作者进行了讨论,形成了一个研究热点,他们的研究基本上都是围绕着下
列二阶微分方程
x00(t) = f(t, x(t), x0(t)) + e(t), 0 < t < 1. ( )
在几种多点边值问题条件下展开的[8–11]. 他们的方法都是依赖于Mawhim[12,13]的迭合
度理论,例如, Gupta在1995年的文献[11]中研究了共振多点边值问题的可解性;1997年,
Fang和Webb在文献[7]中对()中的f非线性增长限制的条件下, 对下列两类三点边值
问题
x0(0) = 0, x(1) = αx(η), ( )
x(0) = 0, x(1) = αx(η). ( )
分别研究了非共振情形对应着对应着 1 与共
(BVP()() α 6= 1; BVP()() α 6= η)
振情形对应着对应着 1 下解的存在性年
(BVP()() α= 1; BVP()() α= η) ;2002 ,
Liu和Yu[14,15]系统地讨论了四类带共振的m-
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非线性多点边值问题的可解性, ,马
如云[16] 利用锥上的不动点定理, 给出了边值问题
u00 + a(t)f(u) = 0, 0 < t < 1,
u(0) = 0, u(1) = αu(