文档介绍：分类号 0178 单位代码
密级学号
学生毕业论文
题目
奇偶性的推广及应用
作者
院(系)
数学系
专业
数学与应用数学
指导教师
答辩日期
2014 年 5 月 2 日
摘要
奇偶性是一种特殊对称性,,进而先横向将其推广到一般的中心对称、轴对称的情况,,让我们对对称性有一个更深入的了解.
关键字:奇偶性;中心对称;轴对称
The deformation and Application of An Equation
ABSTRACT
Parity is a special kind of symmetry,integral calculation can be simplified a lot by symmetry topic carries on the deformation,then first to promote it to the center of the general symmetry,axisymmetric condition,longitudinal extension to multivariate function from the definition of function parity introduces the application of symmetry in some integral operation,let us have a deeper knowledge of symmetry.
Key words:parity;center symmetry;axisymmetric
目录
摘要 I
ABSTRACT II
目录 III
1 引言 1
2 函数奇偶性定义的推广 2
一元函数奇偶性定义 2
一元函数奇偶性概念的推广 2
3 函数对称性的应用 4
一元函数对称性的应用 4
二元函数对称性的应用 8
4 小结 12
参考文献 13
致谢 14
1 引言
我们知道一元奇函数是关于原点中心对称的函数,偶函数是关于轴对称的函数,对于这一类函数性质的应用我们已经十分熟悉。奇偶性是一种特殊的对称性,那么对于一般的点对称、轴对称的性质呢?一元函数我们清楚了,那么多元函数呢?本文将对这些问题做一个初步的研究.
2 函数奇偶性定义的推广
一元函数奇偶性定义
先写出一元函数奇偶性的定义:
定义1[1] 为定义在上的函数,,若有,则为上的奇函数;若有,则为上的偶函数.
判断一元函数奇偶性有三种等价的形式:
推论1 对定义域内任意,
(1)为偶函数的充要条件为;
(2)为奇函数的充要条件为.
推论2 对定义域内任意,当恒不为时,
(1)为偶函数的充要条件为;
(2)为奇函数的充要条件为.
推论3 对定义域内任意,
(1)为偶函数的充要条件为;
(2)为奇函数的充要条件为.
一元函数奇偶性概念的推广
我们知道一元奇函数是关于原点成中心对称的函数,一元偶函数是关于轴成轴对称的函数,那么一般的中心对称、轴对称又是如何定义的呢?现在我们就从一元函数奇偶性定义出发,看看一般中心对称轴对称是如何定义的.
定义2[2] 如果函数,,满足对,恒有
,那么函数图象关于点对称;
如果函数,.满足对,恒有,那么函数图象有直线对称.
特殊的取,时,就得到一元函数奇偶性的定义了.
由此我们就将函数的奇偶性推广为一般的中心对称,轴对称,以后我们提到奇偶函数时就可以用中心对称,,,我们再来看一下多元函数的对称性.
定义3[2] 如果二元函数,定义域为,任给,
(1)若,则称是以点中心对称的二元函数.
(2)若,则称是以直线,为对称轴的二元函数.
(3)若,则称是以面为对称面的二元函数,同样若,则称是以面为对称面的二元函数.
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大学数学中有很多问题都用到了函数的对称性,下面我们主要说明一下一元函数和二元函数对称性的应用.
3 函数对称性的应用
一元函数对称性的应用
定理1[3] 若在定义域内可积且关于点对称,即满足,则对,有
.
证明由已知,先令,则
,
再令,则
,
那么就有
,