文档介绍：量纲分析方法
倪致祥主讲
为了能够应用数学来描述物理对象,我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数值,单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身,而且取决于所选用的单位。例如为了描述一块地的范围,需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是块大小为1平方公里的地,也可以说这是块大小为1000000平方米的地。离开了单位,仅根据数值我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性,比如说度量长短可以选用米为单位,也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的,它们之间可以相互换算,具有某种统一性。我们把这种统一性称为量纲。
一般来说,测量同一个物理量可以有不同的单位,但是它的量纲是唯一的。例如,测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位,但是决不能用公斤或吨为单位。不同量纲的物理量之间有本质的区别,相互不能换算。说一根木头长度为2´10-16光年虽然很不合适,但是并没有原则性错误;如果说一根木头长度为100公斤,就要让人笑掉大牙。
通常用[量]来表示物理量的量纲,不同的物理量往往有不同的量纲:长度的量纲记为L,时间的量纲记为T,质量的量纲记为M,无单位的物理量的量纲记为1。一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性,我们可以把其中的一些看成是基本量,其他的是导出量。基本量的量纲称为基本量纲,其他量的量纲可以由基本量纲导出。例如,我们取基本的量纲为L、T和M,那么面积的量纲为L2,速度的量纲为LT-1,加速度的量纲为LT-2。
由于物理量是有量纲的,因此用数学公式来描述任何一个客观规律时,等式两边的量纲必须一致,这个要求称为量纲一致原则。根据量纲一致原则和牛顿第二运动定律,我们可以导出力的量纲为MLT-2。在量纲一致的原则下,问题中物理量之间关系的分析称为量纲分析。量纲分析是应用物理理论解决实际问题的一个有力工具,可以用来合理地组合变量从而简化问题的处理,导出新知识和获得新信息。下面我们来看几个典型的例子:
例1. 真空中自由落体的速度
设物体的释放高度为h,自由降落的落地速度为v,不失一般性,我们假定v与物体的质量m、重力加速度g和h有关,即
v=v ( m, g, h ) (1)
不做实验,你能求出上述关系式的具体形式吗?
分析
取基本的量纲为L、T和M,那么有
[v]=LT-1,[m]=M ,[g]=LT-2,[h]=L 。
容易看出[v]的平方等于[g]与[h]之积,因此
(2)
应该是一个无量纲的数,即上式中右边的变量应该组合成为无单位的纯数。由于M在除m外的其他变量中都未出现,所以m不能组合成无量纲的纯数,应该右边的变量中去掉。同理可知变量 g, h 也应该从右边的变量中去掉。这表明C应该是一个无量纲的纯常数,这样我们就得到
(3)
其中常数C可以通过实验测定出来。
例2. 单摆的周期
质量m的小球系在长度为l 的线的一端,偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下做往复摆动,求小球的摆动周期t。
分析
这个问题中出现的物理量有t, m, l, g,不计空气阻力时可以假设它们之间有关系式
(4)
其中a、b 和 g 是待定的常数,k是无量纲的比例系数。(4)式的量纲表达式为
(