文档介绍：复合函数的导数
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一、复****与引入:
1. 函数的导数的定义与几何意义.
.
.
=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式
展开,
的办法求导呢?
又如我们知道函数y=1/x2的导数是=-2/x3,那么函数
y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
为了解决上面的问题,我们需要学****新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.
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二、新课——复合函数的导数:
:
对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量
u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)]
是自变量x的复合函数.
:
设函数在点x处有导数,函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数,则复合函数
在点x处也有导数,且或记
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u
=3x-2,.
在书写时不要把写成,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量的求导.
:
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量.
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量.
,逐步掌握复合函数的求导法则.
三、例题选讲:
例1:求下列函数的导数:
解:设y=u5,u=2x+1,则:
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
解:
(3)y=tan3x;
解:
(2)
解:
(4)
解:
(5):y=sin2(2x+π/3)
法一:
法二:
练****1:求下列函数的导数:
答案:
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R=
10cm时,圆面积增加的速度.
解:由已知知:圆半径R=R(t),且= 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以
=40π(cm)2/s.
故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
把x0=0代入曲线方程得:y0=1.
所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交
点处的切线互相垂直.
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一
个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得
同理由4x2+9y2=72得
因为k1k2=-1,.
例6:设f(x)可导,求下列函数的导数:
(1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
解:
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其
结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法
则.