文档介绍：误差的基本知识
误差定义:=|-x| 或r = |-x| / 
测量值x与真值之差称为误差。由于真值不可知, 故误差不可知,所以测量都是对真值的近似描述。多用相对真值(理论值、约定真值、算术平均值)代替真值,并从统计的角度估算误差的大小。
**误差存在一切测量之中。它的大小反映了人们的认识接近客观真实的程度。
误差来源:由系统误差和偶然误差两部分组成。
(1)系统误差:来源于测量系统的不完善(如:仪器、
方法、环境等),使x 偏离。
特点: 以恒定偏大(小)或周期性形式出现。
消除方法: 针对产生的原因加以消除。
(2)偶然误差:由大量微小干扰因素产生的,使x 偏离
如让n个同学依次测某人身高X,得(X1、X2、…… Xn ),但不能保证X1 X2 …… Xn 。再次测量得(X'1、X'2、…… X'n ),除不能保证X'1X'2 …… X'n 外,还不能保证X1= X'1、 X2= X'2 …… Xn =X'n。
若X1=X1 ˉ+,……,Xn= Xn ˉ。因X可正,可负,可为零。这表明:
偶然误差的特点:随机性。
消除方法:因X可正,可负,可为零,多次测量可以减小偶然误差。
X(长度值)

N( 相同值出现的次数)
1
3
6
10
15
11
8
4
3
2
1
对某一长度X测量了64次,其数据如下:
概率分布图
n=64
当n 时,反应x值出现次数的值n(x)变成连续函数,即
多次测量服从正态分布:单峰;有界;近似对称和正、负相消的特点。可用正态分布函数来描述。

f(x)
xi
正态分布曲线
多次测量服从正态分布:单峰;有界;近似对称和正、负相消的特点。可用正态分布函数来描述。

2
3
其几何意义为分布曲线的宽度。曲线的总面积为1,在范围
%的面积; 2%的面积; 3范围
%的面积;而3范围以外,%的面积。
大部分测量值分布在由决定的范围内。

f(x)
X
不同,表明偶然误差的影响不同。分布为 1的曲线其测量值离散性大些,分布为 2的曲线测量值相对集中些,表明前者偶然误差的影响要大。可用来描述偶然误差的大小。

f(x)
 2
X
在实际中,我们对物理量的测量都是有限次测量,偶然误差对测量值的影响,是通过标准偏差S来估算的。
偏差=|平均值–测量值|
=| –|
(3)偶然误差的估算:
在有限次测量条件下,我们可用S 对偶然误差进行估算。由公式知, S 从统计的角度反映了平均值和某一次测量值X 之间的偏离程度,称为测量列的标准偏差,简称测量列的标准差。统计解释:数据列中任一值X 出现在( S )%。
可证明:当n 时, S 
但在测量时,我们更关心、且经常利用测量列平均值X的标准差S 来估算平均值与真实值之间的偶然误差。
在XS % 的可能包含了真值;
在X  2S 范围内有95%的可能包含了真值;
在X  3S %的可能包含了真值;
在X  3S 范围外,% 的可能包含了真值。
3S 称为误差的极限,也叫坏值剔除的标准。
标准差公式推导:
有一组测量值, ,各次测量值的误差为两边求和取平均得:
或
代入偏差定义式,得:
两边平方求和得:
因为在测量中正负误差出现的概率接近相等,故展开后,交叉项为正为负的数目接近相等,彼此相消,故得:
因而
即