同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案(可编辑).pdf

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N,就有|x?a|ε因此x→an→∞12nn习题1?:1lim3x?18;x→32lim5x+212;x→22x?43lim?4;x→?2x+231?4x4lim2:..1x→2x+121证明1分析|3x?1?8||3x?9|3|x?3|,要使|3x?1?8|ε,只须|x?3|ε31证明因为ε0,δε,当0|x?3|δ时,有|3x?1?8|ε,所以lim3x?18x→3312分析|5x+2?12||5x?10|5|x?2|,要使|5x+2?12|ε,只须|x?2|ε51δε证明因为ε0,,当0|x?2|δ时,有|5x+2?12|ε,所以lim5x+212x→25222x?4x+4x+4x?43分析??4|x+2||x??2|,要使??4ε,只须x+2x+2x+2|x??2|ε22x?4x?4证明因为ε0,δε,当0|x??2|δ时,有??4ε,:..所以lim?4x→?2x+2x+2331?4x11?4x114分析,要使?2ε,只须|x?|ε2|1?2x?2|2|x?|2x+122x+12233111?4x1?4x证明因为ε0,δε,当0|x?|δ时,有?2ε,所以lim21222x+12x+1x→:31+x11;lim3x→∞22xsinx2lim0x→+∞x3333:..1+x11+xx11+x11证明1分析,要使ε,只须ε,即33333222x2x2|x|2x2|x|1|x|32ε3311+x11+x1证明因为ε0,X,当|x|X时,有ε,所以lim333x→∞222x2x2εsinx|sinx|1sinx112分析?0≤,要使?0ε,只须ε,即x2εxxxxx1sinxsinx证明因为ε0,X,当xX时,有?0ε,所以lim02x→+∞ε:..→2时,yx→,使当|x?2|δ时,|y?4|?2解由于x→2,|x?2|→0,不妨设|x?2|1,|x?4||x+2||x?2|5|x?2|,|x?2|,,则当0|x?2|δ时,就有|x?4|?→∞时,y→1,问X等于多少,使当|x|X时,|y?1|+32x?144解要使?,只,|x|?+3x+|x|当x→0时极限为零x|x|,?x当x→0时的左?右极限,并说明它们在x→0时的极限是否存在xx证明因为xlimfxlimlim11,x→0x→0xx→0xlimfxlimlim11,+++:..x→0x→0xx→0limfxlimfx,?+x→0x→0所以极限limfx存在x→0因为|x|?xlim?xlimlim?1,x→0x→0x→0xx|x|xlim?xlimlim1,+++x→0x→0x→0xxlim?x≠lim?x,?+x→0x→0所以极限lim?x不存在x→:若x→+∞及x→?∞时,函数fx的极限都存在且都等于A,则limfxAx→∞证明因为limfxA,limfxA,所以?ε0,x→?∞x→+∞?X0,使当x?X时,有|fx?A|ε;11?X0,使当xX时,有|fx?A|ε22取XX,X,则当|x|X时,有|fx?A|ε,即limfxA12x→∞:函数fx当x→x时极限存在的充分必要条件是左极限、→Ax→x,则?ε0,δ0,使当0|x?x|δ时,有00:..|fx?A|ε因此当xδxx和xxx+δ时都有0000|fx?A|ε这说明fx当x→?0fx+0A,则?ε0,00?δ0,使当xδxx时,有|fx?Aε;1010?δ0,使当xxx+δ时,有|fx?A|ε2002取δminδ,δ,则当0|x?x|δ时,有xδxx及xxx+δ,从而有120010002|fx?A|ε,即fx→Ax→→∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明解x→∞时函数极限的局部有界性的定理:如果fx当x→∞时的极限存在,则存在X0及M0,使当|x|X时,|fx|M证明设fx→Ax→∞,则对于ε1,?X0,当|x|X时,有|fx?A|ε1所以|fx||fx?A+A|≤|fx?A|+|A|1+|A|这就是说存在X0及M0,使当|x|X时,|fx|M,其中M1+|A|习题1??举例说明之解不一定αx2αx例如,当x→0时,αx2x,βx3x都是无穷小,但lim,不是无穷小x→:2x?91y当x→3时为无穷小;x+312yxsin当x→0时为无穷小:..x2x?9证明1当x≠3时|y||x?3|因为ε0,δε,当0|x?3|δ时,有x+32x?9|y||x?3|δε,x+32x?9所以当x→3时y为无穷小x+312当x≠0时|y||x||sin|≤|x?0|因为?ε0,δε,当0|x?0|δ时,有x1|y||x||sin|≤|x?0|δε,x1所以当x→0时yxsin为无穷小x1+:函数y为当x→,能使x4|y|10?1+2x1111证明分析|y|2+≥?2,要使|y|M,只须?2M,即:..|x|xx|x||x|M+211+2x证明因为?M0,δ,使当0|x?0|δ时,有M,M+2x1+2x所以当x→0时,函数y是无穷大x1144取M10,则δ当0|x?0|时,|y|104410+210+:2x+11lim;n→∞x21x2limx→01x2x+1112x+1解1因为2+,而当x→∞时是无穷小,所以lim2n→∞xxxx221x1x2因为1+xx≠1,而当x→0时x为无穷小,所以lim1x→,填写下表:?∞,+∞内是否有界?这个函数是否为当x→+∞时的无穷大?为什么?解函数yxcosx在?∞,+∞内无界这是因为?M0,在?∞,+∞内总能找到这样的x,使得|yx|,1,2,,当k充分大时,就有|y2kπ:..|M当x→+∞时,函数yxcosx不是无穷大这是因为?M0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|yx|+2kπ+cos2kπ+0k0,1,2,,222π对任何大的N,当k充分大时,总有x2kπ+N,但|yx|0M211+:函数ysin在区间0,1]上无界,但这函数不是当x→0时的无穷大xx11证明函数ysin在区间0,1],在0,1]中总可以找到点x,,1,2,kπ2kπ+2时,有πyx2kπ+,k2当k充分大时,yxMk:..+x→0时,,对所有的0,总可以找到这样的点x,使0xδ,,1,2,,k2kπ当k充分大时,xδ,但yx2kπsin2kπ0Mkk习题1?:2x+51lim;x→2x?322x+52+5解lim?9x→2x?32?32x?32lim;2x→3x+1223?3x?3解lim02:..x3x+13+12x?2x+13lim;2x→1x?122x?2x+1x?1x?10解limlimlim02x→1x→1x→1x?1x?1x+1x+12324x?2x+x4lim;2x→03x+2x3224x?2x+x4x?2x+11解limlim2x→0x→03x+2x3x+2222:..h0h22222x+h?xx+2hx+h?x解limlimlim2x+h2xh→0h→0h→0hh116lim2+;2x→∞xx1111解lim2+2lim+lim222x→∞x→∞x→∞xxxx2x?17lim;2x→∞2x?x?11122:..xlimlim2x→∞x?xx→∞112212?2xx2x+x8lim;42x→∞x?3x?12x+x解lim0分子次数低于分母次数,极限为零42x→∞x?3x?111+223x+xxx或limlim042x→∞x→∞21:..1?24xx2x6x+89lim;2x4x5x+42x?2x?4x?6x+8x?24?22limlimlim解2x→4x→4x→4x?5x+4x?1x?4x?14?131110lim1+2;2x→∞xx1111解lim1+2lim1+lim21×2222x→∞x→∞x→∞xxxx11111lim1++++;:..n∞2421n+11?1112解lim1++++lim2nn→∞n→∞1242121+2+3++n?112lim;2n→∞nn?1n1+2+3++n?11n?112解limlimlim22n→∞n→∞n→∞nn2n2n+1n+2n+313lim;3:..n→∞5nn+1n+2n+31解lim分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比3n→∞5n5n+1n+2n+311231或limlim1+1+1+3n→∞n→∞5n5nnn51314lim;3x→11?x1?x21?xx+2131+x+x?3x+2limlim?lim?lim?1解3222x→1x→1x→1x→11?x1?x1?x1+x+x1?x1+x+x1+x+:32x+2x1lim;2x→2:..x?2232x?20x+2x解因为lim0,所以lim∞322x→2x→2x+2x16x?22x2lim;x→∞2x+12x解lim∞因为分子次数高于分母次数x→∞2x+133lim2x?x+1x→∞3解lim2x?x+1∞因为分子次数高于分母次数x→∞:121limxsin;x→0x1212解limxsin0当x→0时,x是无穷小,而sin是有界变量x→0:..xxarctanx2limx→∞xarctanx11解limlim?arctanx0当x→∞时,是无穷小,而arctanx是有界变量x→∞x→∞?:sinωx1lim;x→0xsinωxsinωx解limωlimωx→0x→0xωxtan3x2lim;x→0xtan3xsin3x1解lim3lim3x→0x→0x3xcos3xsin2x3lim;x→0sin5xsin2xsin2x5x22解limlim?x→0x→0:..sin5x2xsin5x554limxcotx;x→0xx解limxcotxlim?cosxlim?limcosx1x→0x→0x→0x→0sinxsinx1?cos2x5lim;x→0xsinx21?cos2x1?cos2x2sinxsinx2解法一limlimlim2lim222x→0x→0x→0x→0xsinxxxx21?cos2x2sinxsinx解法二limlim2lim2x→0x→0x→0xsinxxsinxxxn6lim2sinx为不等于零的常数nn→∞2xsinnx:..n2解lim2sinlim?xxnxn→∞n→∞:1x1lim1?x;x→0111?1?1?1?x?xx解lim1xlim[1+?x]lim[1+?x]ex→0x→0x→01x2lim1+2x;x→0111?222:..x2x2x解lim1+2xlim1+2x[lim1+2x]ex→0x→0x→01+x2x3lim;x→∞x1+x122xx2[]解limlim1+ex→∞x→∞xx1kx4lim1k为正整数x→∞x11kx?x?k?k解lim1lim1+ex→∞x→∞,证明极限存在的准则I′:11lim1+1;n→∞n11证明因为11+1+,nn1而lim11且lim1+1,n→∞n→∞n1由极限存在准则I,lim1+1n→∞:..n1112limn+++1;222n→∞n+πn+2πn+nπ证明因为22n111nn+++,22222n+nπn+πn+2πn+nπn+π22nn而lim1,lim1,22n→∞n→∞n+nπn+π111所以limn+++1222n→∞n+πn+2πn+nπ3数列2,2+2,2+2+2,的极限存在;证明x2,x2+xn1,2,3,1n+