巧用数列来解题.doc

文档介绍：巧用数列来解题
何斌(广东省兴宁市职业技术学校 514500)
(本文发表在数理天地(高中版)2011年第十期)
1. 巧设公差(比)解方程(组)
例1 解方程:
分析若两边平方直接解方程很繁,如能分析方程结构特征,变形巧设等差数列的公差,则很简洁.
解由题设知,,,成等差数列,设其公差为,则
,得,
所以或
显然,不满足原方程,是增根;舍去.
如果,代入(1)求得或.
经检验:不满足原方程,是增根;满足原方程,是原方程的解。
例 2 解方程组:
分析先从方程(1)入手,化方程(1)为关于的一元二次方程,从而求出的值,再设公比求解.
解:由(1),得,由此解得,即,所以,,成等比数列,设其公比为,则,,代入(2),得,解得或,故
,或,或,或
经检验,上述四组解都是原方程组的解。
2. 巧构递推式
例3 设实数满足求的值。
分析:该方程如果利用消元方法去求解,则非常复杂,观察每一个方程,却不难发现其规律.
解由已知条件构造递推式,
则。
因此
将已知方程代入可得方程组
得,解得
即,所以,即

例4 设任意实数、满足,.求证:
分析:由,,知,能展成无穷递缩等比数列各项和的形式.
证明因为,,所以,,,从而有


当且仅当时,上式等号成立。
因此原不等式成立