文档介绍：集合A={x|x 2-ax+a2-19=0},B={x|x 2-5 x+6=0},C={x|x 2+2 x-8=0}.
(1)若A∩B=A∪B,求a的值;(2)若 A∩B,A∩C=,求a的值.
答案:
由已知,得B={2,3},C={2,-4}.
(1) A∩B=A∪B, A=B
于是2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根,由韦达定理知:
解之得a=5.
(2)由A∩B ∩,又A∩C=,得3∈A,2A,-4A,由3∈A,
得32-3a+a2-19=0,解得a=5或a=-2
当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与2A矛盾;
当a=-2时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意.
来源:09年湖北宜昌月考一
题型:解答题,难度:中档已知:集合A={x|≤0}, B={x|x2-3x+2<0},U=R,
求(1)A∪B;
(2)(uA)∩B.
答案:
A={x|≤0}={x|-5<x≤}
B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}
(1)A∪B={x|-5<x<2}
(2)(uA)={x|x≤-5或x>} (uA)∩B={x|<x<2}
来源:09年湖北襄樊月考一
题型:解答题,难度:中档
已知全集,不等式的解集为,不等式的解集为.
(I)求,;
(II)求.
答案:
(Ⅰ)由得.∴.
.∴.
(Ⅱ)∵,,
∴. ∴.
来源:09年北京海淀月考一
题型:解答题,难度:容易
设,求证:
(1);
(2);
(3)若,则
答案:
(1)因为,且,所以
(2)假设,则存在,使,由于和有相同的奇偶性,所以是奇数或4的倍数,不可能等于,假设不成立,所以
(3)设,则
(因为)。
来源:08年数学竞赛专题一
题型:解答题,难度:较难
判断以下命题是否正确:设A,B是平面上两个点集,,若对任何,都有,则必有,证明你的结论。
答案:
不正确,取满足条件,但。
来源:08年数学竞赛专题一
题型:解答题,难度:中档
设集合P={1,2,3,4,5},对任意k∈P和正整数m,记f(m,k)=,其中[a]表示不大于a的最大整数。求证:对任意正整数n,存在k∈P和正整数m,使得f(m,k)=n。
答案:
设集合P={1,2,3,4,5},对任意k∈P和正整数m,记
f(m,k)=,其中[a]表示不大于a的最大整数。求证:对任意正整数n,存在k∈P和正整数m,使得f(m,k)=n。
证明:定义集合A={|m∈N*,k∈P},其中N*为正整数集。由于对任意k、
i∈P且k≠i,是无理数,则对任意的k1、k2∈P和正整数m1、m2,当且仅当m1=m2,k1=k2。由于A是一个无穷集,现将A中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n,设此数列中第n项为。下面确定n与m、k的关系。若,则。由m1是正整数可知,对i=1,2,3,4,5,满足这个条件的m1的个数为。从而n==f(m,k)。因此对任意n∈N*,存在m∈N*,k∈P,使得f(m,k)=n。
来源:07年全国高中数学竞赛
题型:解答题,难度:较难
已知集合,问:当取何值时,为恰有2个元素的集合?说明理由,若改为3个元素集合,结论如何?
答案:
因为(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),而A∩C,B∩C分别为方程组①②(Ⅰ)与③④(Ⅱ)的解集。
在(Ⅰ)中将①代入②消去y得(1-ax)2+x2=1.
即(a2+1)x2-2ax=0,
所以x=0或x=。
当x=0时y=1,当x=时,y=
所以(Ⅰ)的解集为