文档介绍：已知函数f(x)=,其中
(I)若b>2a,且 f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;
(II)若对任意实数x,不等式恒成立,且存在成立,求c的值。
答案:
f(sinx)=
f(sinx)max=f(1)=2,
又b>2a>0,
(7分)
(2)
不存在
当a=1时,c=1,
此时存在x0,使
来源:
题型:解答题,难度:较难二次函数f(x)=
(I)若方程f(x)=0无实数根,求证:b>0;
(II)若方程f(x)=0有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:f(-a)=;
(III)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整数k,使得.
答案:
(I)
(II)设两整根为x1,x2,x1>x2
(5分)
(III)设m<x1<x2<m+1,m为整数。
即
f(m)=
f(m+1)=
来源:
题型:解答题,难度:较难
某大型超市预计从明年初开始的前x个月内,某类服装的销售总量f(x)(千件)与月份数x的近似关系为
(Ⅰ)写出明年第x个月的需求量g(x)(千件)与月份数x的函数关系;
(Ⅱ),并求出这个月的需求量.
答案:
解:(Ⅰ)第一个月销售量为
当时,第x个月的销售量为
………………………5分
当x=1时,g(1)也适合上式.
………………………7分
(Ⅱ)由题意可得:
解之得…………………………10分
…………………………………………………11分
答:,.…………………12分
来源:
题型:解答题,难度:较难
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(1)若函数y=f(x)图像上任意不同的两点连线斜率小于1,求证:-<a<
(2)若x∈[0,1],函数y=f(x)上任一点切线斜率为k,讨论|k|≤1的充要条件
答案:
解:(1)设任意不同的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2则<1 (1分)
∴<1
即-x12-x1x2-x22+a(x1+x2)<1∴-x12+(a-x2)x1-x22+ax2-1<0 (3分)
∵x1∈R∴Δ=(a-x2)2+4(-x22+ax2-1)<0即-3x22+2ax2+a2-4<0
∴-3(x2-)2++a2-4<0∴a2-4<0,∴-<a< (6分)
(2)当x∈[0,1]时,k=f′(x)=-3x2+2ax(7分)
由题意知:-1≤-3x2+2ax≤1,x∈[0,1]
即对于任意x∈[0,1],|f′(x)|≤1等价于|f′(0)|,|f′(1)|,
|f′()|的值满足
或或(11分)
即或或
∴1≤a≤
即|k|≤1的充要条件是1≤a≤(14分)
来源:
题型:解答题,难度:中档
已知函数,当()时,当()时,
(Ⅰ)求在[0,1]内的值域;
(Ⅱ)为何值时,≤0的解集为R.
答案:
解:由题目知的图像是开口向下,交轴于两点和的抛物线,对称轴方程为(如图)那么,当和时,有,代入原式得:
解得: 或
经检验知: 不符合题意,舍去.
(Ⅰ)由图像知,函数在内为单调递减,所以:当时,,当时,.在内的值域为
(Ⅱ)令要使的解集为R,则需要方程的根的判别式,即
解得当时,的解集为R.
来源:
题型:解答题,难度:中档
某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,。根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件。
(I)设一次订购量为x件,服装的实际出厂单价为P元,写出函数的表达式;
(II)当销售商一次订购了450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元?
(服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本)
答案:
(1)当时,
当时,
所以
(2)设销售商的一次订购量为x件时,工厂获得的利润为L元,则
当时,
因此,当销售商一次订购了450件服装时,该厂获利的利润是5850元。
来源:
题型:解答题,难度:较难
函数是偶函数,且是周期为2的周期函数,当x∈[2,3]时,,在的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点C的坐标为(0,a)(其中a>2),求△ABC面积的最大值.
答案:
解:如图,∵f(x)是以2为周期的周期函数,
∴当(平移),∵f(x)是偶函数,
∴当x∈[-1,0]时,当x∈[1,2]时,f(x)=f(x-2