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专题 正方形（5 大知识点 4 大考点 15 类题型）（知识梳
理与题型分类讲解）
【知识点 1】正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形．
【要点说明】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更
为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形．
【知识点二】正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
1．边--四边相等、邻边垂直、对边平行；
2．角--四个角都是直角；
3．对角线--①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4．是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心．
【要点说明】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个
等腰直角三角形．
【知识点三】正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角
或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂
直（即菱形）．
【知识点四】特殊平行四边形之间的关系
【知识点五】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形．
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形．
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形．
试卷第 1 17页，共页 : .
【要点说明】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成．
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形．
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形．
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形．
第一部分【题型目录】
知识点与题型目录
【知识点 1】正方形的性质
【题型 1】正方形性质理解
【题型 2】根据正方形的性质求角度
【题型 3】根据正方形的性质求线段长
【题型 4】根据正方形的性质求面积
【题型 5】求正方形重孴部分面积
【题型 6】根据正方形的性质证明
【知识点 2】正方形的判定
【题型 7】正方形的判定定理理解
【题型 8】添一个条件使四边形是正方形
【题型 9】证明四边形是正方形
【知识点 3】正方形的性质与判定综合
【题型 10】根据正方形的性质与判定求角度
【题型 11】根据正方形的性质与判定求线段长
【题型 12】根据正方形的性质与判定求面积
【题型 13】根据正方形的性质与判定证明
【知识点 4】链接中考与拓展延伸
【题型 14】直通中考
【题型 15】拓展延伸
第二部分【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前“★”难度系数 ，“★★”难度系数 ，“★★★”难度系数 ．
【知识点 1】正方形的性质
【题型 1】正方形性质理解
试卷第 2 17页，共页 : .
【例 1】
（24-25 九年级上·贵州毕节·期中）
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角互补
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【变式 1】
（24-25 九年级上·山东青岛·期末）
2．下列命题错误的是（ ）
A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等
【变式 2】
（22-23 八年级下·河北保定·期末）
3．如图，菱形 ABCD与正方形AECF 的顶点B ，E ，F ，D在同一条直线上，且AB = 4，
Ð=°ABC 60 ．
（1）Ð BAE 的度数为
（2）点E 与点F 之间的距离为 ．
【题型 2】根据正方形的性质求角度
【例2】
（23-24 八年级下·云南昆明·期中）
4．如图，在正方形 ABCD中，点E、F 分别是对角线BD、 AC 上的点，连接CE、EF 、
DF ，若EF BC∥ ，且．Ð=°CEF 15 ，则ÐEDF 的度数为 ．
试卷第 3 17页，共页 : .
【变式 1】
（24-25 九年级上·重庆合川·阶段练习）
5．如图，在正方形 ABCD中，点E 是AB 的中点，点F 在DE 上，连接BF ，CF ．若
BC BF= ，Ð=DCF a ，则ÐBFE 一定等于（ ）
A．a B．2a C．90°- a D．90 2°- a
【变式 2】
（24-25 九年级上·广东佛山·期中）
6．如图，点E 在正方形ABCD内部，且VABE 是等边三角形，连接BD、DE ，则
Ð=BDE °．
【题型 3】根据正方形的性质求线段长
★【例 3】
（24-25 八年级下·全国·阶段练习）
7．如图，将正方形 ABCD折叠，使点B 落在DC 边的中点Q 处，点 A 落在 P 处，折痕为
EF ．已知BD长为16 2．
试卷第 4 17页，共页 : .
(1)求线段 AB 的长；
(2)线段CF 的长．
★【变式 1】
（24-25 九年级上·浙江绍兴·阶段练习）
8．如图，在正方形 ABCD的BC 边上取中点E ，以点E 为圆心，DE 长为半径作圆，交BC
CD
延长线于点F ，过点F 作FG AD^ ，交AD 延长线于点G ，得到矩形CDGR，则=
CF
（ ）
3 1+ 5 1+ 3 1- 5 1-
A． B． C． D．
2 2 2 2
★【变式 2】
（2025·贵州·模拟预测）
9．如图，正方形 ABCD，E，F 分别是 AB ，BC 的中点，AF ，DE 相交于点G，连接CG ，
若AB = 2 ，则CG 的长为 ．
【题型 4】根据正方形的性质求面积
★【例 4】
（22-23 八年级下·福建龙岩·期末）
10．已知边长为 4 的正方形 ABCD和Ð=°O 45 ．
试卷第 5 17页，共页 : .
(1)以ÐO 为一个内角作菱形OPMN ，使OP = 4；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
S1
(2)设正方形 ABCD的面积为S1，菱形OPMN 的面积为S2，求的值．
S2
【变式 1】
（23-24 九年级上·辽宁锦州·阶段练习）
11．如图，Ð=ABC 90°，四边形ACDE是正方形，若AB BC==2, 4，则VBCE 的面积等
于 ．
【题型 5】求正方形重孴部分面积
★【例 5】
（20-21 八年级下·四川达州·期末）
12．一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK 、VABC 做了一个探究活动，将△MNK 的直角
顶点M 放在VABC 的斜边AB 的中点处，设AC BC a== ．
（1）如图 1，两个三角尺的重叠部分为△ACM ，则重叠部分的面积为______．
（2）将图 1 中的△MNK 绕顶点M 逆时针旋转45°，得到图 2，此时重叠部分的面积为
______．
试卷第 6 17页，共页 : .
（3）如果将△MNK 继续绕顶点M 逆时针旋到如图3 所示，猜想此时重叠部分的面积为多
少？并加以验证．
（24-25 九年级上·宁夏银川·期末）
13．如图，在正方形 ABCD的内部作等边VABE ，连接DE CE， ，对角线BD交AE 于点F．
(1)求证：CE DE= ；
(2)求ÐEDB的度数．
【变式1】
（2023 九年级上·山东·专题练习）
14．如图，正方形OMNP 的顶点O 与正方形 ABCD的对角线交点O 重合，正方形 ABCD和
正方形OMNP 的边长都是2cm ，则图中重叠部分的面积是 cm2．
【变式 2】
（24-25 九年级上·河北邯郸·阶段练习）
15．如图，三个边长为6cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O 是其中一个正方
形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ）
A．9 cm2 B．18cm2 C．12cm2 D．24cm2
【题型 6】根据正方形的性质证明
★【例 6】
试卷第 7 17页，共页 : .
（24-25 八年级上·江苏南京·阶段练习）
16．如图，正方形 ABCD中，点P 为射线AD 上一个动点．连接BP，把VABC 沿BP折叠，
当点A 的对应点A¢刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，Ð=A CD¢ ．
★【变式 1】
（2024 九年级上·全国·专题练习）
17．如图，正方形 ABCD的边长为10， AG CH BG DH==== 8, 6，连接GH ．则线段GH
的长（ ）
8 14
A． 3 B．10 5 2- C．2 2 D．
5 5
★【变式 2】
（24-25 九年级上·浙江杭州·期中）
18．如图，在正方形 ABCD中，CD = 4，E ，F 分别是边CD，BC 上的动点且DE CF= ，
AE 与DF 交于P 点，则线段CP长的最小值为 ．
【知识点 2】正方形的判定
【题型 7】正方形的判定定理理解
【例7】
试卷第 8 17页，共页 : .
（22-23 八年级下·四川泸州·期中）
19．下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且平分的四边形是正方形
【变式 1】
（24-25 九年级上·广东梅州·阶段练习）
20．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当Ð ABC = 90o，YABCD是矩形B．当 AC BD= ，YABCD是矩形
C．当 AB BC= ，YABCD是菱形D．当 AC BD^ ，YABCD是正方形
【变式2】
（22-23 八年级下·上海虹口·期末）
21．以下说法中正确的是 （填序号）
①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形
③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形
⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形
⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形
★【题型 8】添一个条件使四边形是正方形
【例8】
（23-24 九年级上·宁夏银川·期中）
22．如图，已知：在四边形BECF 中，Ð=°ACB BC90 ． 的垂直平分线EF 交BC 于点D，交
AB 于点E，且CF AE= ．
试卷第 9 17页，共页 : .
(1)试探究，四边形BECF 是什么特殊的四边形；
(2)当ÐA = °时，四边形BECF 是正方形（不证明）
★【变式 1】
（24-25 九年级上·辽宁沈阳·期末）
23．如图，四边形 ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A．若Ð=ABC 90°，则四边形ABCD是正方形B．若 AB BC= ，则四边形ABCD是菱形
C．若 AC BD= ，则四边形ABCD是菱形D．若 AC BD^ ，则四边形ABCD是矩形
【变式 2】
（23-24 八年级下·吉林四平·期中）
24．如图，已知四边形ABCD是菱形，从① AB AD= ，②Ð=ÐABC ADC，③ AC BD= 中
选择一个作为条件后，使四边形