文档介绍：第三章张量代数
在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射
m阶张量空间
定义了
。若{o;i1,i2,i3}是V中标准正交坐
标系。则的基底为
张量都可以表示为:
。Pm中的任意
在后文的书写中,矢量空间的张量积符号在不致混淆时将
略去不写。如:
张量代数运算
在§。且对任意同
阶张量
(-10)定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减
,(-7)、(-8)式给出了张量
(同阶)的加法运算和张量的数乘运算。若按(-9)、
运算按:
(-1)
定义。而数乘运算按:
(-2)
定义。
按(-1)和(-2)式容易得出:
(-3)
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外,还可以
定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算
有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法
运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘(矢量本身就是
一阶张量)。因此谈到张量(不一定是同阶张量)间的
乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。
张量积:设张量
;则 A和 B的张量积按:
(-4)
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般
AB≠BA(两张量的张量积一般不满足交换律)。对任一
组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值,
都是确定的实数。
记
。则:
(-4a)
张量间的张量积运算有如下性质:
1.
(-5)
2.
(-5a)
(证明由读者自行完成)
r点乘(积):设
A、B张量的r点乘:
。则定义
(-6)
当m = n = r时,
称为A全点乘B。且记为:
(-7)
由定义(-6)式可知:
(-8)
但必须注意一般情况下:
(-9)
由(-4a)和(-6)式给出的是任意阶张量间的张量
积和 r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时,更常
见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。
设u、v是一阶张量(矢量)。A、B、C是二阶张量。则:
一阶张量与一阶张量的张量积:
(-10a)
二阶张量与一阶张量的张量积:
(-10b)
一阶张量与二阶张量的张量积:
(-10c)
二阶张量与二阶张量的张量积:
(-10d)
一阶张量(全)点乘:
(-10e)
一阶张量与二阶张量的(一)点乘:
(-10f)
二阶张量与一阶张量的(一)点乘:
(-10g)
二阶张量与二阶张量的(一)点乘:
(-10h)
二阶张量与二阶张量的(双)点乘:
(-10i)
四阶张量与二阶张量的(双)点乘:
(-10j)
二阶张量与四阶张量的(双)点乘:
(-10k)
由(-10e)、(-10f)、(-10g)、(-10j)、
(-10k)定义单位矢量(一阶单位张量)、二阶单位张
量和四阶单位张量。即满足:
(-11)
的
分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四
阶单位张量。
上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质:
1.
2.
(-12)
且记
为
。即
。并称
为单位二阶张量。
3.
(-13)
且记
为
。即
。并称
为单位二阶
张量。
证:
1.
对任意
∴
2.
设存在另一二阶张量
∵
∴
3.
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
,且满足
。则:
(唯一性)
例1:
如图3-1所示刚体Ω以角速度ω(ω是对刚体整体运动的
述量。ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速
度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ(r) ;速度矢量为 u (r)
。则处微分体积 dV所包含质量ρ(r) dV对 o点动量矩为:
Ω
r
o
i 2
i 3
i 1
图3-1
试证明物体Ω对o点的动量矩为:
式中
称为物体Ω
对o点的二阶惯性矩张量(注:J
不是四阶单位张量。但 J表达式中的
I是二阶单位张量)。
证:
图3-2
r
o
x 2
x 3
x 1
x 3
t 3
t 2
t 1
t
n
x 2
x 1
b
a
c
h
o
(b )
(a )
例2:
如图3-2所示受力物体。
若物体在确定的约束条件
下处于平衡状态。试分析
r 点处的应力状态。
解:
在物体 r 点处
用三个与
坐标面平行的平面和一个斜平面截出四面体oabc如图3-2 (
b)所示。取出的四
面体与物体中剩