文档介绍：第四章张量函数和张量分析
在前面三章中主要对集合的代数结构进行了讨论,并由多
重线性映射引入了张量空间。而第三章中对张量空间的各
元素(张量)间的各种代数运算(加法、数乘、张量积、
点积等)作了详尽的分析。但这些代数运算所构成的张量
空间的代数结构仍无法对张量空间点列的收敛性、张量空
间与张量空间的映射及映射的连续性等进行描述。本章的
主要内容旨在解决上述问题。
张量函数
设V是三维Euclid矢量空。{o; i1, i2, i3}是V的一组标准正交
坐标系。设Pr是由V张成的r 阶张量空间。且对任意r 阶张
量A∈ Pr ,有:
如果对任意的A∈ Pr,存在二组实数:
使得:
(-1)
那么
的满足(-1)的每一组3 r个取值确定
一个A。而满足(-1)的所有A构成Pr的一个子集合,且
称这一子集合为Pr的一个闭集(若等号不成立则称为开集)
。记为P。
设 P是 Pr张量空间的开集。按第一章第四节的标量积可以
定义A,B∈ P的标量积:
(-1)
容易证明
具有下列性质:
i)对称性:
(-2)
ii)线性性:
(-3)
iii)正定性:
(-4)
对任意Pr中的张量 A, B∈ P 。由(-1)式可引入张量的
模和两张量之间的距离。其定义如下:
(-5)
(-6)
一、张量函数
设V是三维 Euclid 矢量空间,{o; i1, i2, i3}是V 的一组标准正
交坐标系。Pr、Ps是由{o; i1, i2, i3}基底构成的 r 阶和 s 阶张
量空间。若存在映射 F 使得:
(-7)
F(Φ)是r阶张量自变量的s阶张量值函数。张量函数的自变
量取值的开集( 或闭集) Φ∈ P
Pr 的 P 称为张量函数的
定义域;张量函数 F(Φ)的所有定义域中Φ的取值集合(s
阶张量集合)称为张量函数的值域。
当r≤2, s≤2时有:
=0, s=0时:
Φ记为x;F记为f。则:
(-8a)
f (x)称为零阶张量自变量的零阶张量值函数。f (x)就是一元
实函数。
=1,s=0时: Φ记为u;F记为f。则:
(-8b)
F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是
矢量自变量的标量值函数。
=1,s=1时: Φ记为u,F记为f,则:
(-8c)
F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是
矢量自变量的矢量值函数。
=2,s=0时: Φ记为A;F记为F。则:
(-8d)
F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是
二阶张量自变量的标量值函数。
=2,s=2时: Φ记为A;F记为F。则:
(-8e)
F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
例1:
张量函数例子。
(a)设矢量a是V中任意给定的矢量;x是V中的矢量。则:
式中f ( )取为法则a · ( ) 。那么 f (x ) = a · ( x )是矢量自变量
的标量值函数。函数可写为:
而对同一个a及变矢量x:
式中f ( )取为法则a ×( ) 。那么 f (x ) = a ×( x )是矢量自变
量的矢量值函数。函数可写为:
(b)对任意位置矢量x所标定的物体中的点。该点的应力
状态可由应力张量σ表示。对确定的受力物体,同一点不
同截面上的应力可由该截面的外法线矢量和应力张量表示
。且:
式中n是截面的单位外法线;σ是二阶应力张量;p是外法
线为n截面上的应力矢量。显然物体受力是确定的,而对
同一位置矢量标定的点,σ是不变的常二阶张量。因此 p
n的函数(不同截面上的应力矢量不同)。即:
(c)第三章例23给出的:
式中应变二阶张量ε=ε(σ)是应力二阶张量的函数。
即是二阶张量自变量的二阶张量值函数。
二、张量函数的连续性
为了引入张量函数的连续性,首先回顾一元实函数的连续
性定义。设一元实函数为 f (x) 。若对任意给定的正数ε,
总存在着一个正数δ。使得当所有x满足:
时,对应的函数都有:
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值| x - x0 |、
| f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论
| x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0
离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函
的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距
数的连续性定义。
设张量函数为 F (