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数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
题型一. 基本公式
1．若非零向量a→、b→满足|a→|=|b→|且(2a→+b→)⊥b→，则a→与b→的夹角为（ ）
A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6
【解答】解：∵非零向量a→、b→满足|a→|=|b→|，且(2a→+b→)⊥b→，设a→与b→的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴（2a→+b→）•b→=2a→•b→+b→2=0，即2a→•b→=−b→2，∴2|a→|•|a→|•cosθ=−|a→|2，
求得cosθ=−12，∴θ=2π3，
故选：C．
2．已知非零向量a→，b→夹角为45°，且|a→|＝2，|a→−b→|＝2．则|b→|等于（ ）
A．22 B．2 C．3 D．2
【解答】解：非零向量a→，b→夹角为45°，且|a→|＝2，|a→−b→|＝2．
可得a→2−2a→⋅b→+b→2=4，
4﹣22|b→|+|b→|2＝4
则|b→|＝22．
故选：A．
3．已知向量a→，b→及实数t满足|a→+tb→|＝3．若a→•b→=2，则t的最大值是 98 ．
【解答】解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|a→+tb→|＝3，a→•b→=2，
两边平方可得（a→+tb→）2＝9，
即为a→2+t2b→2+2ta→•b→=9，
即有a→2+t2b→2＝9﹣4t，
由a→2+t2b→2≥2t|a→|•|b→|≥2ta→•b→=4t，
当且仅当a→，b→同向时，取得等号．
由9﹣4t≥4t，解得t≤98．
即有t的最大值为98．
故答案为：98．
题型二. 几何意义——投影
1．设向量e1→，e2→是夹角为2π3的单位向量，若a→=3e1→，b→=e1→−e2→，则向量b→在a→方向的投影为（ ）
A．32 B．12 C．−12 D．1
【解答】解：∵向量e1→，e2→是夹角为2π3的单位向量，
∴|e1→|=|e2→|=1，e1→⋅e2→=1×1×cos2π3=−12．
|a→|=|3e1→|=3，
∴a→⋅b→=3e1→⋅(e1→−e2→)=3e1→2−3e1→⋅e2→=3−3×(−12)=92．
∴向量b→在a→方向的投影为b→⋅a→|a→|=923=32．
故选：A．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→⋅AC→= 18 ．
【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC＝2AO
∵AP⊥BD，AP＝3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP＝AP＝3
∴|AC→|cos∠OAP＝2|AO→|×cos∠OAP＝2|AP→|＝6，
由向量的数量积的定义可知，AP→⋅AC→=|AP→||AC→|cos∠PAO＝3×6＝18
故答案为：18
3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量AB→在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则AP→•AB→的取值范围是 [﹣5，5] ．
【解答】解：如图所示：设∠PAB＝θ，作OM⊥AP，则∠AOM＝θ，
∴sinθ=AMOA，AM＝5sinθ，AP＝2AM＝10sinθ．
∴AP→⋅AB→=10sinθ×1×cosθ＝5sin2θ∈[﹣5，5]，
故答案为：[﹣5，5]．
题型三. 转换基底
1．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→=23BD→，|AD→|＝1，则AC→•AD→=（ ）
A．23 B．3 C．32 D．﹣23
【解答】解：在△ABC中，AD⊥AB，BC→=23BD→，|AD→|＝1，
则AC→•AD→=（AB→+BC→）•AD→=AB→⋅AD→+BC→⋅AD→=BC→⋅AD→
＝0+23BD→•AD→=23（AD→−AB→）•AD→
＝23AD→2−23AB→⋅AD→=23•1﹣0＝23，
故选：A．
2．已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|=3，|AC→|=2，若AP→=λAB→+AC→且AP→⊥BC→，则实数λ的值为（ ）
A．37 B．73 C．712 D．127
【解答】解：向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|=3，|AC→|=2，
可得AB→•AC→=3×2×cos120°＝﹣3，
若AP→=λAB→+AC→且AP→⊥BC→，
则AP→•BC→=（λAB→+AC→）•（AC→−AB→）=AC→2﹣λAB→2+（λ﹣1）AB→•AC→
＝4﹣9λ﹣3（λ﹣1）＝0，
解得λ=712．
故选：C．
3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量OA→=a→，OB→=b→，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量OP→=c→．若|a→|＝3，|b→|＝2，则c⋅(a→−b→)的值为 52 ．
【解答】解：设线段AB的垂直平分线为PH，H为垂足，
则OP→=OB→+BH→+HP→=OB→+12BA→+HP→
=OB→+12OA→−12OB→+HP→=12OA→+12OB→+HP→，
则c⋅(a→−b→)=（12OA→+12OB→+HP→）•（OA→−OB→）
=12（OA→2−OB→2）+HP→⋅BA→
=12×（32﹣22）+0=52．
故答案为：52．
题型四. 数量积运算律求最值
1．向量a→，b→的夹角为120°，|a→|=|b→|=1，|c→|=2，则|a→+2b→+c→|的最大值为（ ）
A．2−3 B．2 C．2+3 D．4
【解答】解：|a→+2b→+c→|≤|a→+2b→|+|c→|，计算：|a→+2b→|2=a→2+4b→2+4a→⋅b→=|a→|2+4|b→|2+4|a→|•|b→|cosθ＝1+4﹣4×12=3，
∴|a→+2b→|=3，|a→+2b→+c→|≤|a→+2b→|+|c→|＝2+3，当且仅当||a→+2b→|＝|c→|时取等号．
故|a→+2b→+c→|的最大值为2+3，
故选：C．
2．已知向量a→，b→满足|a→|＝5，|b→|＝1且|a→−4b→|≤21，则a→•b→的最小值为 52 ．
【解答】解：∵|a→−4b→|≤21，
∴a→2−8a→⋅b→+16b→2≤21，
即25﹣8a→⋅b→+16≤21，
∴a→⋅b→≥52．
故答案为：52．
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是线段BC上的动点，若BD→⋅AM→=−3，则BA→⋅BC→的取值范围是 [1，4） ．
【解答】解：由已知有：|AB→|＝|BC→|，CD→=12BA→，BM→=λBC→，（0≤λ≤1），
则BD→⋅AM→=（BC→+CD→）⋅(AB→+BM→）＝（BC→+12BA→）（λBC→−BA→）＝﹣3，
所以BA→⋅BC→=2+8λ2−λ=182−λ−8，
因为0≤λ≤1，∴BA→⋅BC→∈[1，10]，
因为BA→⋅BC→=|BA→|⋅|BC→|⋅cosθ，其中θ为BA→与BC→的夹角，θ∈（0，π），
因为cosθ∈（﹣1，1），所以BA→⋅BC→=2×2cosθ＝4cosθ∈（﹣4，4），
又1⩽BA→⋅BC→⩽10，所以BA→⋅BC→∈[1，4)．
故答案为：[1，4）．
1．已知向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），c→=（m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，且（a→−b→）∥c→，下列说法正确的是（ ）
A．a→与b→的夹角为钝角
B．向量a→在b→方向上的投影为55
C．2m+n＝4
D．mn的最大值为2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），则a→•b→=2﹣1＝1＞0，则a→、b→的夹角为锐角，A错误；
对于B，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），则向量a在b方向上的投影为a→⋅b→|b→|=22，B错误；
对于C，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），则a→−b→=（1，2），若（a→−b→）∥c→，则（﹣n）＝2（m﹣2），变形可得2m+n＝4，C正确；
对于D，由C的结论，2m+n＝4，而m，n均为正数，则有mn=12（2m•n）≤12（2m+n2）2＝2，即mn的最大值为2，D正确；
故选：CD．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→⋅AF→=2，则AE→⋅BF→的值是 2 ．
【解答】解：∵AF→=AD→+DF→，
AB→⋅AF→=AB→⋅(AD→+DF→)=AB→⋅AD→+AB→⋅DF→=AB→⋅DF→=2|DF→|=2，
∴|DF→|＝1，|CF→|=2−1，
∴AE→⋅BF→=（AB→+BE→）（BC→+CF→）=AB→⋅CF→+BE→⋅BC→=−2(2−1)+1×2=−2+2+2=2，
故答案为：2
3．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE→=2EC→，AE→⋅BD→=−23，则AF→⋅EF→的最小值为（ ）
A．−23 B．−43 C．−15275 D．−7336
【解答】解：由题意知：BE→=23BC→，
设∠DAB＝θ，
所以AE→⋅BD→=（AB→+BE→）•（AD→−AB→）=AB→⋅AD→−AB→2+23BC→⋅AD→−23BC→⋅AB→=4cosθ﹣4+83−83cosθ=−23，
所以cosθ=12，
又θ∈（0，π），
所以θ=π3，
以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，
所以A（−3，0），C（3，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（233，−13），
设F（0，t），
则AF→=（3，t），EF→=（−233，t+13），
所以AF→⋅EF→=−2+t（t+13）＝t2+13t−2=（t+16）2−7336，
当t=−16时，AF→⋅EF→取最小值−7336，
故选：D．
题型六. 极化恒等式
1．设向量a→，b→满足|a→+b→|=10，|a→−b→|=6，则a→⋅b→=（ ）
A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4
【解答】解：∵|a→+b→|=10，∴（a→+b→）2＝10，∴a→2+b→2+2a→•b→=10 ①，
∵|a→−b→|=6，∴（a→−b→）2＝6，∴a→2+b→2−2a→•b→=6 ②，
①﹣②得 4a→•b→=4，∴a→•b→=1．
故选：B．
2．如图，△ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP→⋅BP→的取值范围是 [1，13] ．
【解答】解：∵|AC→|=|BC→|=23，∠ACB＝60°
∴AC→•BC→=23•23cos60°＝6
∵AP→=AC→+CP→，BP→=BC→+CP→
∴AP→⋅BP→=（AC→+CP→）（BC→+CP→）=AC→•BC→+CP→（AC→+BC→）+CP→2
∵|CP→|=1
∴AP→•BP→=6+CP→（AC→+BC→）+1＝7+CP→（AC→+BC→）
∵△ABC是边长为23的等边三角形，
∴向量AC→+BC→是与AB垂直且方向向上，长度为6的一个向量
由此可得，点P在圆C上运动，当CP→与AC→+BC→共线同向时，CP→（AC→+BC→）取最大值，且这个最大值为6
当CP→与AC→+BC→共线反向时，CP→（AC→+BC→）取最小值，且这个最小值为﹣6
故AP→⋅BP→的最大值为7+6＝13，最小值为7﹣6＝1．即AP→⋅BP→的取值范围是[1，13]
故答案为：[1，13]
3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→⋅(PB→+PC→)的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣2 D．−83
【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则A（0，23），B（﹣2，0），C（2，0），
设P（x，y），则PA→=（﹣x，23−y），PB→=（﹣2﹣x，﹣y），PC→=（2﹣x，﹣y），
所以则PA→⋅(PB→+PC→)的最＝﹣x•（﹣2x）+（23−y）•（﹣2y）＝2x2﹣43y+2y2
＝2[x2+2（y−3）2﹣3]；
所以当x＝0，y=3时，PA→⋅(PB→+PC→)取得最小值为2×（﹣3）＝﹣6，
故选：B．
课后作业. 数量积
1．已知向量a→、b→满足|a→|=1，|b→|=2，|2a→+b→|=3|2a→−b→|，则a→与b→夹角为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【解答】解：|a→|=1，|b→|=2，|2a→+b→|=3|2a→−b→|，
∴(2a→+b→)2=3(2a→−b→)2，