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2012年第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组二试）
一、填空题（每题20分，共60分）
1．（20分）小红和小明两人都带了钱想买《趣味数学》这本书，到书店一看，小红带的钱缺2元2角，小明带的钱缺1元8角．而两人带的钱合起来刚好买一本．则《趣味数学》每本定价 元．
2．（20分）如图所示，小正方形EFGH在大正方形ABCD的内部，阴影部分的总面积为124平方厘米，E、H在边AD上，O为线段CF的中点．则四边形BOGF的面积为 平方厘米．
3．（20分）一些边长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，在这个立体的体积最大时，将这些小正方体码放成一个底面积为4的长方体，则这个长方体的高是 ．
二、解答题（每题20分，共60分）
4．（20分）已知两个正整数之和为432，这两个正整数的最小公倍数与最大公约数之和为7776．则这两个正整数的乘积是多少？
5．（20分）设不同的字母代表不同的非零数码，相同的字母代表相同的数码，若×＝，且＜，求A、B、C、D．
6．（20分）奥运会男子足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛．每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛全部赛完以后，每组取积分最高的两个队出线进入下轮比赛（对积分相同的队，按更细规则排序）．那么在所有能够出线的情况中，一个出线队的得分最少是多少？请说明理由．
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2012年第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组二试）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题20分，共60分）
1．（20分）小红和小明两人都带了钱想买《趣味数学》这本书，到书店一看，小红带的钱缺2元2角，小明带的钱缺1元8角．而两人带的钱合起来刚好买一本．则《趣味数学》每本定价 4 元．
【分析】根据“她俩把钱凑在一起，正好能买一本书．”说明：两个人所缺的钱都能从对方得到，所以这本书的价钱是两人的钱数和，一个人缺的钱数，就是另一个人有的钱数，据此解答．
【解答】解：2元2角+1元8角＝4元；
答：《趣味数学》每本定价 4元．
故答案为：4．
2．（20分）如图所示，小正方形EFGH在大正方形ABCD的内部，阴影部分的总面积为124平方厘米，E、H在边AD上，O为线段CF的中点．则四边形BOGF的面积为 31 平方厘米．
【分析】如下图：连接GC，设：正方形ABCD、EHGF的边长分别为a、b，
经验证：梯形FGCB的面积＝阴影部分面积的一半；
经验证：四边形BOGF的面积为梯形面积一半，即可求解．
【解答】如上图：连接GC，设：正方形ABCD、EHGF的边长分别为a、b，
则梯形FGCB的面积＝（b+a）（b﹣a）÷2＝（b2﹣a2）÷2；
阴影部分面积＝（b2﹣a2），即梯形FGCB的面积＝阴影部分面积的一半；
O为线段CF的中点．因为若△BOF、△COF分别以CO、FO为底，它们是等底同高的三角形，所以其面积相等；同理
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△GOF、△GO面积相等．
即：四边形BOGF的面积为梯形面积一半，
四边形BOGF的面积＝梯形面积一半＝阴影部分面积的四分之一＝124÷4＝31（平方厘米）．
故：应该填31．
3．（20分）一些边长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，在这个立体的体积最大时，将这些小正方体码放成一个底面积为4的长方体，则这个长方体的高是 3 ．
【分析】首先分析出最多时候的木块个数，以一个图形为基础图形，已知往上面放最多即可．
【解答】解：依题意可知：
首先对位置进行编号．
根据图2可知位置2或7的有2个方块，位置4或6上有2个方块．
最多就是都放上去，那么共第二次放在2，4，6，7位置共4块共12块．
底面是4，那么块数也是4，共放12÷4＝3层．
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故答案为：3
二、解答题（每题20分，共60分）
4．（20分）已知两个正整数之和为432，这两个正整数的最小公倍数与最大公约数之和为7776．则这两个正整数的乘积是多少？
【分析】此题涉及约数和倍数和，不是积．所以要把他们分别表示出来．列出等式关系．设A＝aN，B＝bN即aN+bN＝432，N+abN＝7776，两个式子中都含有N可以约掉再计算出a与b的关系．根据题中都是正整数的要求来判断具体数值．
【解答】解：设这两个正整数分别是A，B．他们的约数为N．A＝aN，B＝bN．（a，b互质）最小公倍数为abN．
aN+bN＝N（a+b）＝432，分解质因数432＝24×33
N+abN＝N（ab+1）＝7776，分解质因数7776＝25×35
，解得ab+1＝18（a+b），
变形得：
b＝＝＝18+，
∵a，b都是整数，∴是整数，a﹣18就是323的约数．
323＝17×19，
当a﹣18＝17时，b＝18+19＝37，a＝35，
当a﹣18＝19时，b＝18+18＝35，b＝37，
∴ab＝35×37＝1295，
N（1295+1）＝7776，
N＝6，
AB＝abN2＝1295×36＝46620，
综上所述答案是：46620．
5．（20分）设不同的字母代表不同的非零数码，相同的字母代表相同的数码，若×＝，且＜，求A、B、C、D．
【分析】分析题中的隐含数字就是是111的倍数．分解111＝37×3．再判断相同字母B，就找到突破口．注意A＜C．
【解答】解：根据分解质因数＝D×111＝D×3×37，
∴AB或CB有一个一定是37，推得B＝7，
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根据尾数判断7×7尾数是9，
∴D＝9，，
＜，，，
A＝2，B＝7，C＝3，D＝9，
故答案为：2，7，3，9．
6．（20分）奥运会男子足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛．每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛全部赛完以后，每组取积分最高的两个队出线进入下轮比赛（对积分相同的队，按更细规则排序）．那么在所有能够出线的情况中，一个出线队的得分最少是多少？请说明理由．
【分析】将这四个队伍按积分从多到少，依次是ABCD，那么出线的就是A和B两个队伍，因此这题就变成B得分最少是多少．
【解答】解：
如果三支队伍的六场比赛都是平局，那六支队伍的积分都是3分，那就再按更细的规则排序．
如果三支队伍的六场比赛中，只有A胜了D，其他都平局，那么A得5分，B和C各得3分，D得2分．
所以一个出线队的得分最少是3分．
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日期：2019/5/7 10:43:54；用户：小学奥数；邮箱：******@；学号：20913800