不等式证明综合练习.doc

文档介绍：第十二教时
教材:不等式证明综合练习
目的:系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。
过程:
简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较的大小。
解一:

∵0 < 1 - x2 < 1, ∴
∴
解二:

∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴∴
解三:∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
∴左- 右=
∵0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴
∴
变题:若将a的取值范围改为a > 0且a ¹ 1,其余条件不变。
例二、已知x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd
证一:(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证:xy≥ac + bd
只需证:(xy)2≥(ac + bd)2
即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即:a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式,显然成立
∴xy≥ac + bd
证二:(综合法)xy =
≥
证三:(三角代换法)
∵x2 = a2 + b2,∴不妨设a = xsina, b = xcosa
y2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb
∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb