文档介绍：课题:(二)
,熟记双曲线的标准方程,并能初步应用;
;
教学重点:标准方程及其简单应用
教学难点:双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
名称
椭圆
双曲线
图象
定义
平面内到两定点的距离的和为常数(大于)的动点的轨迹叫椭圆。即
当2﹥2时,轨迹是椭圆,
当2=2时,轨迹是一条线段
当2﹤2时,轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数(小于)的动点的轨迹叫双曲线。即
当2﹤2时,轨迹是双曲线
当2=2时,轨迹是两条射线
当2﹥2时,轨迹不存在
标准方程
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
注:是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
注:是根据项的正负来判断焦点所
在的位置
常数的关系
(符合勾股定理的结构)
,
最大,
(符合勾股定理的结构)
最大,可以
二、讲解范例:
例1 已知双曲线的焦点在轴上,中心在原点,且点,,在此双曲线上,求双曲线的标准方程
分析:由于已知焦点在轴上,中心在原点,所以双曲线的标准方程可用设出来,进行求解本题是用待定系数法来解的,得到的关于待定系数的一个分式方程组,并且分母的次数是2,解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组;也可将的倒数作为未知数,直接看作二元一次方程组
解:因为双曲线的焦点在轴上,中心在原点,所以设所求双曲线的标准方程为
()
则有,即
解关于的二元一次方程组,得
所以,所求双曲线的标准方程为
变式例题1 点A位于双曲线上,是它的两个焦点,求的重心G的轨迹方程
分析:要求重心的轨迹方程,必须知道三角形的三个顶点的坐标,利用相关点法进行求解注意限制条件
解:设的重心G的坐标为,则点A的坐标为
因为点A位于双曲线上,从而有
,即
所以,的重心G的轨迹方程为
点评:求轨迹方程,常用的方法是直接求法和间接求法两种例1是直接利用待定系数法求轨迹方程本题则是用间接法(也叫代入法)来解题,补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件,它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系,而这一点正是学生容易忽略,造成错误的地方,所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性,养成严谨细致的学习品质
变式例题2 已知的底边BC长为12,且底边固定,顶点A是动点,使,求点A的轨迹
分析:首先建立坐标系,由于点A的运动规律不易用坐标表示,注意条件的运用,可利用正弦定理将其化为边的关系,注意有关限制条件
解:以底边BC 为轴,底边BC的中点为原点建立坐标系,这时
,由得
,即
所以,点A的轨迹是以为焦点,2=6的双曲线的左支其方程为:
点评:求轨迹方程的过程中,有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件,列方程就是根据这些条件确定的,由于轨迹问题比较普遍,题型多样,有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法,运用逻辑推理,结合平