高中数学教案全集第九章 直线平面简单几何体 (16).doc

文档介绍：课题::多面体欧拉定理的发现(一) 
教学目的:
1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式
、探究问题、归纳总结能力
教学重点:欧拉公式的发现过程
教学难点:欧拉定义及其证明
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程,让学生了解欧拉公式及其简单应用,扩大学生的知识面,培养学生学习数学的兴趣 
教学过程:
一、复事迹简说:欧拉(Euler),瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭,自幼受父亲的教育,13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业,16岁获硕士学位,1783年9月18日于俄国彼得堡去逝(详细资料附后)
2多面体的概念:由若干个多边形围成的空间图形叫多面体;每个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点,连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线.
:把多面体的任一个面展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,.
:多面体至少有四个面,按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等
二、讲解新课:
:考虑一个多面体,例如正六面体,假定它的面是用橡胶薄膜做成的,如果充以气体,那么它就会连续(不破裂)变形,最后可变为一个球面如图:象这样,表面经过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体
说明:棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
、面数及棱数:
正多面体
顶点数
面数
棱数
正四面体
4
4
6
正六面体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
正二十面体
12
20
30
发现:它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式:.
上述关系式对简单多面体都成立

⑹的顶点数V、面数F、和棱数E,并计算V+F-E=6+6-10=2
⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E,并验证上面公式是否还成立?
3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜,向内充气则⑸⑹将变成一个球面,图⑺将变成两个紧贴的球面,图⑻将变成一个环面。
可以验证:只有像⑸⑹这样,经过连续变形,表面能变为一个球面的多面体才满足公式V+F-E=2。这个公式称为欧拉公式,这样的多面体称为简单多面体。
(欧拉公式):简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式:
.
证明:(方法一)
⑴如图⑽:将多面体的底面ABCDE剪掉,抻成平面图形,其顶点、棱数,面数(剪掉面用右图中ABCDE表示)均没有变,故所有面的内角总和不变。
⑵设左图中共有F个面,分别是边形,顶点数为V,棱数为E,则.
左图中,所有面的内角总和为
=
=
⑶右图中,所有面的内角总和为
=
⑷=
整理得.
(方法二)以四面体为例来说明:
将它的一个面去掉,并使其变为平面图形,四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变因此,要研究、和的关系,只要去掉一个面,将它变形为平面图形即可
对平面图形,我们