高中数学教案全集第九章 直线平面简单几何体 (17).doc

文档介绍：课题::多面体欧拉定理的发现(二) 
教学目的:会用欧拉公式解决实际问题
教学重点:欧拉定理的应用
教学难点:在具体问题中会利用顶点V、面数F、棱数E的关系互化
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
:考虑一个多面体,例如正六面体,假定它的面是用橡胶薄膜做成的,如果充以气体,那么它就会连续(不破裂)变形,最后可变为一个球面如图:象这样,表面经过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体
说明:棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
、面数及棱数:
正多面体
顶点数
面数
棱数
正四面体
4
4
6
正六面体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
正二十面体
12
20
30
(欧拉公式):简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式:
.
:在欧拉公式中令,叫欧拉示性数
说明:(1)简单多面体的欧拉示性数.
(2):长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体
二、讲解范例:
例1 由欧拉定理证明:正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种
证明:设正多面体的每个面的边数为,每个顶点连有条棱,
令这个多面体的面数为,每个面有条边,故共有条边,由于每条边都是两个面的公共边,故多面体棱数(1)
令这个多面体有个顶点,每一个顶点处有条棱,故共有条棱由于每条棱有两个顶点,故多面体棱数(2)
由(1)(2)得:,代入欧拉公式:.
∴(3),
∵又,,但,不能同时大于,
(若,,则有,即这是不可能的)
∴,,则,
∴,∴,∴.
同样若可得.
:
1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家是由60个原子构成的分子,它是形如足球的多面体这个多面体有60个顶点,以每一个顶点为一端点都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形,计算分子中五边形和六边形的数目
解:设分子中有五边形个,六边形个
分子这个多面体的顶点数,面数,棱数,由欧拉定理得: (1),
另一方面棱数可由多边形的边数和来表示,得(2),由(1)(2)得:,
∴分子中五边形有12个,六边形有20个
,求它的面数、顶点数和棱数
解:由题意设每一个面的边数为,则,
∴,
∵,∴,
将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,
则,得,即(1),
∵,∴,又,
∴的可能取值为,,,
当或时(1)中无整数解;
当,由(1)得,
∴, ∴,
综上可知:,,.
三、小结:欧拉定理的应用;会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题
四、课