文档介绍：课题:实数与向量的积(1)
教学目的:
,理解实数与向量积的几何意义;
;
,能够运用共线条件判定两向量是否平行.
教学重点:掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件
教学难点:对向量共线的充要条件的理解
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向.
:①用有向线段表示;②用字母a、b等表示;
、单位向量概念:①长度为0的向量叫零向量,
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②、b、c平行,记作a∥b∥c.
:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
:平行向量就是共线向量.
:求两个向量和的运算,叫做向量的加法
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
:+=+
:(+) +=+ (+)
,叫做a与b的差即:a - b = a + (-b)
: = a, = b, 则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
二、讲解新课:
:已知非零向量,作出++和(-)+(-)+(-)
==++=3
==(-)+(-)+(-)=-3
(1)3与方向相同且|3|=3||;(2)-3与方向相反且|-3|=3||
:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
(1)|λ|=|λ|||
(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=
:λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律:(λ+μ)=λ+μ②
第二分配律:λ(+)=λ+λ③
结合律证明:
如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则①式成立
如果λ¹0,μ¹0,¹有:|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||
∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与同向;
如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与反向
从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明:
如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则②式显然成立
如果λ¹0,μ¹0,¹
当λ、μ同号时,则λ和μ同向,
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向
即|(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号,当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向;当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向,且|(λ+μ)|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律证明:
如果=,=中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然成立
当¹,¹且λ¹0,λ¹1时
(1)当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O,
作λλ
则+ λ+λ