河北省石家庄二中2018届高三数学三模试卷（a）理（含解析）.docx

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河北省石家庄二中2018届高三数学三模试卷（A）理（含解析）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,，只有一项是符合题目要求的.
,则中所含元素的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，故选D.
考点：集合的表示法．
，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据为纯虚数，得到的值；再由，及复数除法的计算法则计算的值。
详解：为纯虚数
，解得
又∵i2007=i4×501+3=i3=−i
a+i20071+ai=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i
故选D
点睛：（1）复数z=a+bi分类：
①b=0时为实数；②b≠0时为虚数，③a=0,b≠0时为纯虚数。
（2）in以4为周期，即i4k+1=i,i4k+2=i2=−1;i4k+3=i3=−i,i4k=i0=1,(k∈z)
（3）复数除法运算法则：z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(z2≠0)
:∃x∈R，x2<ex，那么命题¬p为（ ）
A. ∃x∈R，x2≥ex B. ∀x∈R，x2<ex
3
C. ∀x∈R，x2≥ex D. ∀x∈R，x2>ex
【答案】C
【解析】
特称命题的否定为全称命题，则¬p为∀x∈R，x2≥ex，故选C．
:x2a2−y2b2=1a,b>0的一个焦点为2,0，且双曲线C的离心率为22，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. y=±2x B. y=±22x C. y=±77x D. y=±7x
【答案】D
【解析】
依题意，双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为(2,0)，∴c=2，∵双曲线离心率为22，∴ca=2a=22，∴a=22，∵c2=a2+b2，∴b=142，∴渐近线方程为y=±bax=±.
，y满足约束条件x−y−3≤0x+y−2≥0−x+2y−2≤0，则z=x−12+y2的最小值为（ ）
A. 12 B. 22 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点(x,y)到点(1,0)的距离的平方，所以zmin=(|1+0-2|12+12)2=12．故选A．
∈0,π2，β∈0,π2，且tanβ=1+sinαcosα，则（ ）
A. α−3β=−π2 B. α−2β=−π2 C. α+3β=π2 D. α+2β=π2
【答案】B
【解析】
分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即 tanβ=sinβcosβ和sin(β-α)化简，再根据诱导公式和角的范围，确定正确答案。
3
（2）方法二、运用诱导公式和二倍角公式，通过α⇒(π2-α)⇒π4-α2的变换化简，确定正确答案。
详解：方法一：∵tanβ=sinβcosβ
∴sinβcosβ=1+sinαcosα即sinβcosα=cosβ+cosβsinα
整理得sin(β-α)=cosβ
∵α∈(0,π2),β∈(0,π2)
∴β-α∈(-π2,π2)，∴ (β-α)+β=π2
整理得α-2β=-π2
方法二：∵1+sinαcosα=1+cos(π2-α)sin(π2-α)=2cos2(π4-α2)2sin(π4-α2)cos(π4-α2)=1tan(π4-α2)
∴tanβ=1tan(π4-α2)
∵α∈(0,π2),β∈(0,π2)
∴π4-α2∈(0,π4)，∴ β+(π4-α2)=π2
整理得α-2β=-π2
故选B
点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，根据题干和选项所给提示，确定解题方向，选取适当三角函数公式化简求值。
：1，2，4，7，11，16，…，，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（ ）
4
A. i≤30？和p=p+i−1 B. i≤31？和p=p+i+1
C. i≤31？和p=p+i D. i≤30？和p=p+i
【答案】D
【解析】
试题分析：由于要计算30个数的和，
故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30
即①中应填写i≤30；
又由第1个数是1；
第2个数比第1个数大1即1+1=2；
第3个数比第2个数大2即2+2=4；
第4个数比第3个数大3即4+3=7；…
故②中应填写p=p+i
考点：程序框图
=ex−1+e1−x，则满足fx−1<e+e−1的x的取值范围是（ ）
A. 1<x<3 B. 0<x<2 C. 0<x<e D. 1<x<e
【答案】A
【解析】
分析：先确定函数f(x)的单调性，x∈(−∞,1)单调递减，x∈(1,+∞)单调递增；由题可知当x=0或x=2时f(x)=e+e−1，根据函数f(x)的性质解不等式fx-1<e+e-1。
详解：令u=ex−1,u∈(0,+∞)，u(x)为单调递增函数
则f(x)=g(u)=u+1u,u∈(0,+∞)，u∈(0,1)单调递减，u∈(1,+∞)单调递增，
5
且当x=1时u=e1−1=1
∵复合函数同增异减
∴x∈(−∞,1)时，函数f(x)单调递减；x∈(1,+∞)时，函数f(x)单调递增。
函数f(x)最小值fmin(x)=f(1)
又∵ x=0或x=2时f(x)=e+e−1
∴f(x−1)<e+e−1 即 0<x−1<2
解得∴1<x<3
故选A
点睛：高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。
，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：通过三视图可知，该多面体为棱长为2的正方体切割而成的四棱锥，为棱的中点，再计算该四棱锥各面面积之和即可。
详解：根据三视图可知，该几何体为四棱锥，由棱长为2的正方体切割而成。
底面为矩形，

S△OAD=12S▭ABCD=5
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易得AB=5,OA=3,OB=22
由余弦定理cos∠OAB=32+(22)2−(5)22×3×22=22，得∠OAB=π4
∴S△OAB=12×3×22×22=3
四棱锥的表面积S=25+5+2×2+3=7+35
故选A。
点睛：（1）当已知三视图去还原成几何体时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．
（2）表面积计算中，三角形的面积要注意正弦定理和余弦定理的运用。
−yx+2y+z6的展开式中，x2y3z2的系数为（ ）
A. −30 B. 120 C. 240 D. 420
【答案】B
【解析】
分析：题中z2为独立项，所以(x−y)(x+2y+z)6展开式中含z2的为(x−y)C62(x+2y)4z2=C62z2[x(x+2y)4−y(x+2y)4]，其中x(x+2y)4−y(x+2y)4中x2y3的系数为(x+2y)4展开式中xy3与x2y2的系数差。最后再将两部分系数相乘即得所求。
详解：由(x−y)(x+2y+z)6=(x−y)[(x+2y)+z]6，
得含z2的项为(x−y)C62(x+2y)4z2=C62z2[x(x+2y)4−y(x+2y)4]，
∵x(x+2y)4−y(x+2y)4中x2y3的项为xC43x(2y)3−yC42x2(2y)2=8x2y3
∴x2y3z2系数为C62×8=15×8=120
故选B.
点睛：本题考查了二项式定理的应用，多项式展开问题要抓住独立项，以此为简化问题的突破点，从而减少计算和分类讨论的难度.
=4x焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与圆x−12+y2=r2交于C，D两点，若有三条直线满足AC=BD，则的取值范围为（ ）
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A. 32,+∞ B. 2,+∞ C. 1,32 D. 32,2
【答案】B
【解析】
分析：（1）当直线与x轴垂直时，满足AC=BD；
（2）当直线不与x轴垂直时，直线方程y=k(x−1).四点位置分两种情况：
①四点顺序为A、C、D、B，AB的中点为（1，0），这样的直线不存在；
②四点顺序为A、C、B、D时，得AB=CD，即焦点弦长等于圆的直径，设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立直线与抛物线方程，由韦达定理x1+x2=2+4k2，则AB=x1+x2+2=4+4k2，又CD=2r，所以4+4k2=2r，继而得r>2时有两条满足条件的直线，从而得到答案.
详解：（1）当直线l⊥x轴时，直线：x=1与抛物线交于(1,2)、(1,−2)，与圆(x−1)2+y2=r2交于(1,r)、(1,−r)，满足AC=BD.
（2）当直线不与x轴垂直时，设直线方程y=k(x−1).A(x1,y1),B(x2,y2)
联立方程组y=k(x−1)y2=4x 化简得k2x2−(2k2+4)x+k2=0
由韦达定理 x1+x2=2+4k2
由抛物线得定义，过焦点F的线段AB=AF+BF=x1+x2+2=4+4k2
当四点顺序为A、C、D、B时
∵AC=BD
∴AB的中点为焦点F（1，0），这样的不与x轴垂直的直线不存在；
当四点顺序为A、C、B、D时，
∵AC=BD
∴ AB=CD
又∵CD=2r，
∴4+4k2=2r，即2k2=r−2
当r>2时存在互为相反数的两斜率k，即存在关于x=1对称的两条直线。
综上，当r∈(2,+∞)时有三条满足条件的直线.
故选B.
点睛：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题代入法，考查了分类讨论思想、等价转化思想，由
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AC=BD到AB=CD的转化是解题关键.
(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=(x+1)ex，则对任意m∈R，函数F(x)=f(f(x))-m的零点个数至多有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个
【答案】A
【解析】
当x<0时，f'(x)=(x+2)ex，由此可知f(x)在(-∞,-2)上单调递减，在(-2,0)上单调递增，f-2=-e-2,f-1=0，且f(x)→1,又f(x)在R上的奇函数，f0=0,而x∈(-∞,-1)时，fx<0，所以f(x)的图象示意图如图所示，令t=f(x)，则t∈(-1,1)时，方程fx=t至多有3个根，当t∉(-1,1)时，方程fx=t没有根，而对任意m∈R，方程fx=m至多有一个根t∈(-1,1)，从而函数F(x)=f(f(x))-m的零点个数至多有3个，故选A.
点睛：复合函数的零点问题的求解步骤一般是：
第一步：现将内层函数换元，将符合函数化为简单函数；
第二步：研究换元后简单函数的零点（一般都是数形结合）；
第三步：根据第二步得到的零点范围转化为内层函数值域，进而确定x的个数.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
，编号为：001,002，…，800，从001到270在第一学部，从271到546在第二学部，547到800在第三学部．采用系统抽样的方法从中抽取100名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为004，则第二学部被抽取的人数为__________．
【答案】34
【解析】
因为间隔为800÷100=8 ，且随机抽的号码为004，
则随机抽取的号码构成一个等差数列，通项公式为4+8（n−1）=8n−4 ，
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由271≤8n−4≤546 ，即2758≤n≤5508, ，即35≤n≤68 ，共有34人.
故答案为34.
【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔，利用等差数列进行求解是解决本题的关键．
=(2,1)，a•b=10，a+b=52，则b=__________．
【答案】5
【解析】
由a=(2,1)可得a2=5 ，∵a+b=52,∴a+b2=50，即a2+b2+2a⋅b=50,∴5+b2+20=50，∴b=5，故答案为5.
，过圆心M的平面β与α的夹角为π6且平面β截球O的球面得圆N，已知球O的半径为5，圆M的面积为9π，则圆N的半径为__________．
【答案】13
【解析】
分析：先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON长，最后应用勾股定理确定圆N的半径.
详解：如图，∵S⊙M=9π  OA=5
∴AM=3 OM=OA2−AM2=4
∵过圆心M的平面β与α的夹角为π6且平面β截球O的球面得圆N
∴∠NOM=π6 ON=OMcosπ6=23
∵ OB=5
∴BN=OB2−ON2=13
点睛：本题考查球截面与二面角问题，球半径为R，球截面圆的半径为，球心到截面距离为
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d，满足R2=r2+d2.
，B，C的对边分别为，b，，若a+csinA−sinC=bsinA−sinB，且c=3，则a−b2的取值范围为__________．
【答案】−32,3
【解析】
分析：由正弦定理角化边及余弦定理，整理得C=π3，则A+B=2π3，再根据c=3，得外接圆半径R=1，所以a−b2=2R(sinA−sinB2)，整理后化成一个角得三角函数，求得取值范围.
详解：由正弦定理sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R，
得(a+c)(a−c)=b(a−b) 即c2=a2+b2−ab
由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC 得C=π3
∴A+B=2π3
又∵c=3 csinC=2R
∴R=1
∴a−b2=2R(sinA−sinB2)      =2sinA−sin(2π3−A)        =32sinA−32cosA      =3sin(A−π6)
由题可知 0<A<2π3 则−π6<A−π6<π2
∴−32<a−b2<3 即a−b2的范围(−32,3)
点睛：解三角形问题，需要结合已知条件，根据三角形边角关系、正余弦定理灵活转化已知条件，从而达到解决问题的目的．
解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，另一类是根据边或角的范围计算
三、解答题 （本大题共6小题，、证明过程或演算步骤.）
+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(Ⅰ)求数列an的通项公式；