文档介绍：第四章扭转
§4−1 概述
扭转变形是杆件的基本变形形式之一。扭转变形的基本特征是:杆件在两端垂直于轴线的平面内作用一对大小相等而方向相反的力偶,使其横截面产生相对转动(图4−1)。圆杆表面的纵向线变成了螺旋线,螺旋线的切线与原纵向线的夹角γ称为剪切角。截面B相对于截面A转动的角度φ,称为相对扭转角。
B
A
Me
Me
φ
γ
图4−1
Me
me
(c)
(a)
Me
Me
Me
me
Me
雨篷板
雨篷梁
(d)
图4−2
Me
F
F
(b)
Me
例如图4−2b所示汽车转向轴AB,其B端受到汽车方向盘的力偶作用,A端受到与方向盘转向相反的力偶的作用,使转向轴产生扭转变形。又如机器中的传动轴(图4−2a)、钻杆(图4−2c)、搅拌机的主轴等都是以扭转为主要变形的构件。而在工程中单纯受扭转的构件并不多,通常还伴有弯曲变形。如雨篷梁(图4−2d),房屋的圆弧梁等。
本章着重讨论扭转变形中等直圆杆受扭时的强度和刚度计算,它是扭转中的最基本问题。
§4−2 传动轴的外扭矩·扭矩及扭矩图
图4−3
(a)
x
n
Me
n
Me
n
x
T
n
Me
(c)
(b)
T
n
n
x
Me
当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时,在杆件的横截面上会产生内力。如图
4−3a所示圆轴受到一对外力偶Me的作用,使其产生了扭转变形,求任一横截面n−n上的内力。可以采用截面法。设想将杆件沿n−n截面截成两段,并取左段为脱离体(图4−3b)。那么n−n截面上必有一内力偶作用。由静力平衡方程∑Mx = 0,得
T = Me (4−1)
该内力偶矩称为扭矩,用T表示,单位是N·m或kN·m。通常对扭矩的正负号作如下规定:
采用右手螺旋法则,若以右手的四指表示扭矩的转向,则大拇指指向与截面外法线方向一致时,扭矩为正,反之为负。如图4−3b、c所示扭矩均为正。
当杆件上作用多个外力偶时,应分段用截面法计算各截面上的扭矩,并绘制扭矩图。绘制方法与轴力图的做法类似。
例题4-1 图a所示AD杆,同时受到外力偶矩Me1、Me2、Me3和Me4的作用,且Me3 = Me1 + Me2 + Me4 。试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩,并作出扭矩图。
例题4−1图
A
D
C
B
I
I
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
(e)
(a)
(b)
(c)
A
T1
x
Ⅰ
Ⅰ
(d)
A
T3
C
B
Ⅲ
Ⅲ
x
A
T2
B
Ⅱ
Ⅱ
x
Me1
Me1+Me2
Me4
T图
解:(1)AB段:在截面Ⅰ-Ⅰ处将轴截开,取左段为脱离体,如图b,由平衡方程
,
得
(2)BC段:在截面Ⅱ-Ⅱ处将轴截开,取左段为脱离体,如图c,由平衡方程
,
得
(3)CD段:在截面Ⅲ-Ⅲ处将轴截开,取左段为脱离体,如图d,由平衡方程
,
得
绘出扭矩图,如图e。
在工程实际中,作用在机器传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的,而是给出轴所传递的功率和轴的转速。需要将其换算为力偶矩。
B
A
电动机
图4−4
如图4−4所示带轮传动轴,电动机带动轮A转动。轮A通过轴AB带动B轮转动。电动机的功率为P千瓦(kW),传动轴的转速为n转/分(r/min)。当电动机运转时,轮A和轮B处受力偶作用,其力偶矩为Me。在单位时间内力偶所作的功应等于电动机作的功。
轴转动1分钟力偶所作的功为
电动机每分钟所作的功为
由得:
(4−2)
式中n 为转速(r/min),P 为功率(kW),Me为外力偶矩(N·m)。
例题4−2 如图a所示的传动轴,主动轮输入的功率为P1 = 500kW,三个从动轮输出的功率分别为P2 = P3 = 150kW,P4 =200kW,轴的转速为300r/min,试作出轴的扭矩图。
例题4−2图
(d)
(e)
(f)
N·m
T图
N·m
N·m
+
+
(c)
A
T1
x
Ⅰ
Ⅰ
(b)
A
D
C
B
I
I
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
x
(a)
Me2
Me3
Me1
Me4
A
T2
B
Ⅱ
Ⅱ
x
x
T3
x
Ⅲ
Ⅲ
D
解: 传动轴的计算简图如图b,按公式(8−2)计算外力偶矩:
用截面法即可计算出各段的扭矩:
(1) AB段:在截面Ⅰ−Ⅰ处将轴截开,取左段为脱离体,如图c,由平衡条件
,
得
kN·m
(2) BC段:在截面Ⅱ−Ⅱ处将轴截开,取左段为脱离体,如图d,由平衡条件
,
得
kN·m
(3)