文档介绍：函数值域的求法
一、配方法:对于求二次函数或可转化为形如的函数的值域(最值)一类问题,我们常常可以通过配方法来进行求解.
例1:求二次函数()的值域.
解:函数的定义域为,,从而函数为对称轴为的开口向下的二次函数,,.即函数的值域为.
例2:求函数的值域.
解: 此题可以看作是和两个函数复合而成的函数, 对配方可得: , 得到函数的最大值, 再根据得到为增函数且,
故函数的值域为: .
例3:求函数的最大值与最小值。
例4:求函数的最大值和最小值。
二、换元法:通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式,通过换元,我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等,这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解.
例6:(整体换元) 已知,求函数的值域.
解:令,,,则
。故当即也即时,有最小值;当即也即时,.
例7:(整体换元) 求函数的值域.
解:函数的定义域为,令,那么,
。当即也即时,函数有最大值;.
点评:对于形如(、、、为常数,)的函数,我们可以利用换元法求其值域.
例10:已知函数的值域为,求函数的值域。
解:令,
由得:, ∴所求值域为。
三、不等式法:
例11:求函数()的值域.
解:
当即时,(当即时取得“”);
当即时,(当即时取得“”);
的值域为.
例13:求函数的值域.
解: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为.
例14:求函数的值域.
解: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: , (2)将上面等式的左边展开, 有: ,故而, . 解得, .
从而原函数;
ⅰ)当时, , , 此时, 等号成立, 当且仅当.
ⅱ)当时, , , 此时有
,
等号成立, 当且仅当.
综上, 原函数的值域为: .
四、单调性法:对于形如(、、、为常数,)或者形如而使用不等式法求值域却未能凑效的函数,我们往往可以考虑使用单调性法.
例15:求函数的值域.
解:函数的定义域为,显然函数在其定义域上是单调递增的,当时,函数有最小值,故函数的值域为.
例16:求函数()的值域.
解:,若用不等式法,那么等号成立的条件为即,显然这样的实数不存在,那么我们就不能使用不等式法来求解了.
为了简化函数,我们不妨先进行一下换元,设(),则函数就转化为,,现在我们考查一下函数的单调性:
函数在、上都单调递减;而在、上单调递增.
那么当,函数是单调递增函数,故当即也即时,函数有最小值,函数的值域为.
例17:求函数的值域。
解:令,则在[2,10]上都是增函数,所以在[2,10]上是增函数。当x=2时,,当x=10时,
故所求函数的值域为:。
例18:求函数的值域.
解: 此题可以看作和,的复合函数, 显然函数为单调递增函数, 易验证亦是单调递增函数, 故函数也是单调递增函数. , , 取得最大值.
故而原函数的值域为.
例19:求函数的值域。
提示:,,∴都是增函数,故是减函数,因此