文档介绍：章节题目
第八节多元函数的极值及其求法
内容提要
多元函数极值的概念、必要条件及充分条件
多元函数的最值
条件极值的求法
重点分析
极值的必要条件及充分条件
极值与最值的求法
难点分析
用拉格朗日乘数法求解条件极值
拉格朗日乘数法所得方程组的求法
习题布置
2、6、8、10
备注
教学内容
一、问题的提出
实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1元,,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖 x 元,外地牌子的每瓶卖y 元,则每天可卖出70-5x+4y 瓶本地牌子的果汁,80+6x-7y 瓶外地牌子的果汁问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?
每天的收益为
求最大收益即为求二元函数的最大值.
二、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义:设函数在点的某邻域内有定义,对于该邻域内异于的点:若满足不等式,则称函数在有极大值;若满足不等式,则称函数在有极小值;
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
例1、函数Z=3x2+4y2在(0,0)处有极小值
例2、函数Z=-在(0,0)处有极大值
例3、函数Z=xy在(0,0)处无极值
2、多元函数取得极值的条件
定理1(必要条件)设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: , .
证不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域内任意
都有,
故当,时,有,
说明一元函数在处有极大值,
必有;
类似地可证.
推广如果三元函数在点具有偏导数,则它在有极值的必要条件为
,,.
仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点.
注意:驻点极值点
例如, 点是函数的驻点,但不是极值点.
问题:如何判定一个驻点是否为极值点?
定理2(充分条件) 设函数在点的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又, ,令, ,,
则在点处是否取得极值的条件如下:
(1)时具有极值, 当时有极大值, 当时有极小值;
(2)时没有极值;
(3)时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.
例4求由方程确定的函数的极值
解将方程两边分别对求偏导
由函数取极值的必要条件知, 驻点为,
将上方程组再分别对求偏导数,
故,函数在有极值.
将代入原方程, 有,
当时,,
所以为极小值;
当时,,
所以为极大值.
求函数极值的一般步骤:
第一步解方程组求出实数解,得驻点.
第二步对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步定出的符号,再判定是否是极值.
3、多元函数的最值
与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法:
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
例5 求二元函数在直线,轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.
解如图,
先求函数在内的驻点,
解方程组
得区域内唯一驻点,且,
再求在边界上的最值
在边界和上,
在边界上,即
于是,
由,
得
比较后可知为最大值,
为最小值.
例6 求的最大值和最小值.
解由
得驻点和,
因为即边界上的值为零.
所以最大值为,