文档介绍：每周一计第六计——二元表达式范围的常见处理途径
二元表达式是指含有两个变量的表达式,通常记为,有关二元表达式的值域、最值问题是常考题型,要注意其中涉及的数学思想和方法。
一、减元
例1. 若
分析:,利用条件,可对实施减元,使之转化成为==,这样原二元问题就转化一元表达式的最大值, (易错点)
∴,当原表达式有最大值。
注: 本题除了将二元问题化为一元问题后,还要注意对变量隐含条件的挖掘。一般说来,题目条件中有所求二元变量的等量关系,且能用其中一个去表示另外一个,通常都可以通过减元将二元问题转化为一元问题处理。
二、换元
例2. 已知,求的取值范围。
分析:由联想到同角三角关系中的,可采用三角换元去处理,
由得, 的取值范围是。
注:三角换元是常用的一种换元方法,要选择适当的三角函数,使代数问题三角化,充分利用三角函数的图象和性质去处理,但换元时,要注意三角式和代数式的等价性。
常见的换元方法:
①若x2+y2=r2 令x=rcosα y=rsinα
②若令x=acosα y=bsinα
三、不等式
>0,b>0,a+2b=1,求的最小值。
分析:这是有关二元表达式的最值问题,考虑道题目中的条件,可直接利用基本不等式。
≥当且仅当,即时,。
注:利用均值不等式求最值时要抓住(1)“一正,二定,三等”(2)连续使用同向不等式时要保证等号条件的一致性。本题最常见的错误解法是:由a+2b≥,a+2b=1得≤1,∴≤,∴≥,∴≥≥2×。其原因是两次运用基本不等式的等号成立条件不一致。在a+2b≥中等号成立的条件是a=2b;在≥中,等号成立的条件是a=b,当时,a=b=0,这与已知条件矛盾。此外本题也可采用减元,换元去处理。
四、数形结合
例4. 已知
分析:,又可看成点(1,1)到直线上点的距离,由点到线的距离公式得的最小值为
,求。
分析:根据的结构特征,可联想道点到线的距离公式,则原题可转化为圆上一点到直线的距离的最小值,由图形可知,该距离的最小值又可转化为圆心到直线的距离与半径的差,即:=
∴二元表达式的最小值为。此外本题也可采用换元。
例6 若实数x、y满足x2+y2-6x-4y+12=0,求的最大值及最小值.
分析: 点(x,y)满足圆的方程,而正好看作是圆上的点与原点连线的斜率。如果把(x,y)视为动点,
(x-3)2+(y-2)2=1,圆心(3,2),半径为1
设y=kx,即kx-y=0由直线与圆相切,得,解得
的最大值为,最小值为。
此题也可通