文档介绍：上海交通大学
1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称:高等代数
1.(10分)设P为数域。令;。证明:若与互素,则与也必互素。
2.(10分)设J为元素全为1的阶方阵。
求J的特征多项式与最小多项式;
设为复数域上多项式。证明必相似于对角阵。
3.(10分)
设n阶实对称矩阵,其中且,求A的n个特征值。
设A为复数域上n阶方阵。若A的特征根全为零,证明:。此处E为n阶单位阵。
4(10分)设是数域F上的二次多项式,在F内有互异的根,设A是F上线性空间L的一个线性变换且,(I为单位变换)且满足,证明为A的特征值;且L可以分解为A的属于的特征子空间的直和。
5(10分)用正交线性变换将下列二次型化为标准形,并给出所施行的正交变换:
6(10分)对的不同取值,讨论下面方程组的可解性并求解:
7(10分)假设A为实矩阵,B为实矩阵,表示A的转置矩阵。证明:
AB=0的充要条件是;
矩阵与矩阵A有相同的秩。
8(10分)设均为n阶矩阵且。证明这p个矩阵的秩之和小于等于,并举例说明等式可以达到。
9(10分)证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。
10(10分)设W为欧氏空间V的一个子空间。证明若对任意,
则
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2003年硕士研究生入学考试试题
试卷名称:高等代数
1(15分)设,求.
2(15分)以表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设为两两互异的数而且他们的和不等于零。试证明,,,是P上线性空间的一组基。
3(15分)证明:阶实对称矩阵A的秩为r,,当且仅当A可以写成,其中B为阶满秩矩阵,C为阶可逆实对称阵。
4(15分)假设被整除。证明:,被整除。
5(15分)设A为阶反对称实矩阵,,其中,证明。
6(15分)n阶方阵A满足等式,当且仅当。
7(20分)设A,B都是n阶实方阵,并设为BA的非零特征值;以表示BA关于的特征子空间。(1)证明:也是AB的特征值;(1)证明:维数=维数。
8(20分)设A,B都是n阶正定方阵。试证明:AB的特征值为实数。
9(20分)记,P为数域。假设有特征值,但
均不是A的特征值。试证明:V的变换为同构。
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1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称:数学分析
一选择题(每题3分,共15分)
,则满足不等式
A.
B.
C.
D.
,则下列结论正确的是
A.
;
;
。
,则系数的值为
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
()。
其中C是闭曲线的正向。
B.
C.
D.
二下列命题是否正确,若正确证明之,若错误试举例说明。(每题5分,共25分)
若在连续且有界,则在上必一致连续。
若在点的邻域内二阶可导,且,则为的极小值。
若广义积分收敛,且,则A=0。
若在点的任何邻域内均无界,则在处必不可微。
若级数收敛,则对的任一子列都有收敛。
三计算下列极限(试写出计算过程及理由。共18分)
1.,
2.
3.
四(10分)设为实数列,.证明必存在子列,使收敛。
五(10分)设函数在上非负,(为有限数),又在上连续。试证
六(12分)设函数列在区间I上一致收敛于,且在I上一致连续()。证明:在I上也一致连续。
七(10分)设函数都在上连续,且,又,证明:至少存在一点,使。
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2003年硕士研究生入学考试试题
试卷名称:数学分析
一判断以下各题,正确的给出证明,错误的举反例并说明理由。(每小题6分,共24分)
若在R上有定义,且在所有无理点处连续,则在R上处处连续。
若,连续,则连续。
任意两个周期函数之和仍为周期函数。
若函数在区域D内关于x,y的偏导数均存在,则在D内必连续。
二(12分)设在上无界,试证对任意,在上至少有一点x,使得在的邻域上无界。
三(12分)设对任意有且在和处连续。试证明在R上为常数。
四(12分)已知,且,试求
五(12分)若实系数多项式,的一切根均为实数。试证明导函数也仅有实根。
六(12分)设收敛,级数收敛。试证级数收敛。
七(12分)设,是严格单调增加的连续函数,是它的反函数。试证明对有
八计算题(每小题12分,共24分)
求函数在条件下的极值。
计算积分,其中V为由曲面,和所围成的区域。
九(10分)设在上一致连续,且对任意的有,是试证
十(10分)试证:
十一(10分)设函数在上连续,在内可导,且是非线性函数。试证存在,