文档介绍：自动控制原理
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第八章
非线性控制系统分析
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8-3 相平面法
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动,通过研究这个点的移动轨迹,就可获得系统运动规律的全部信息。
相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。
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二阶系统的微分方程可由下列微分方程来描述:
1. 相平面的基本概念
相平面: 二阶系统的二个变量看作是独立变量,一般是位置量 x 和速度量,分别以x、为横坐标和纵坐标构成的平面为相平面。而x、就叫做运动系统的相变量。在某一时刻t,x、对应于相平面上一个点,称为相点,代表了系统在该时刻的一个状态。
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相轨迹:设初始时刻t0,初始条件x(0)= x0,相点从(x0, )开始,随着时间的增加,系统的状态不断变化,沿着时间增加的方向,将描述这些状态的相点连接起来,在相平面上就形成了一条轨迹线,这种反映系统状态变化的轨迹线叫相轨迹,如图:
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相图:对于某一微分方程,当初始条件不同时,不同的初始条件对应着不同的相轨迹,因此相平面上布满了一簇相轨迹,由这一簇相轨迹组成的相平面图,称作相图。
相平面法:用相平面图分析系统的方法为相平面法。
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从中解出x,对x求导得到,从x,
中消去中间量 t ,就得到的关系,直接以 t 为参量得参量方程即可。
2. 相轨迹的绘制方法
1)解析法
解析法是从微分方程中找出和x的关系,从而在相平面上绘制相轨迹,当描述系统的微分方程比较简单时,用解释法比较方便。
(1) 消变量法
(2) 直接积分法
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就得到的关系。
例:设系统的微分方程为,初始条件为,试绘制系统的相轨迹。
解:
圆
第一种方法:
从微分方程求得 x=x0cost
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第二种方法:
圆
等倾线法是不解微分方程,直接在相平面上绘制相轨迹的方法。它对非线性系统尤为重要。
2) 等倾线法
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等倾线法的实质是用图解的方法,先绘出相轨迹的切线方向,然后从初始条件开始,沿切线方向绘制相轨迹。
等倾线法
它给出了相轨迹在处的斜率。
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