文档介绍：森林灭火
摘要
森林被称为地球之肺,面对全球气温不断的上升,森林着火现象时有发生,为了保持森林面积,让我们的地球自由呼吸,必须采取行动对森林进行灭火。为了能快速有效的灭火又在保证救火费用最低的情况下,我组用微积分的方法建立此模型。
问题重述
森林失火,派多少消防队员去救火?人数多则火灾损失小但救援费用可能大,反之则火灾损失大而救援费用可能小,那么怎样的组合才能使兼顾两者的情况下使得费用达到最小。
问题分析
如题中所述,森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关,应综合森林损失费和救援费,一总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小。
救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。损失费包括森林烧毁的面积,与火灾延续时间有关,灭火时间与消防队员人数有关,人越多灭火越快. 救援费与消防队员人数有关,也与灭火时间有关.
记失火时刻为t= 0,开始救火时刻为t=,灭火时刻为t=. 设在时刻t森林烧毁的面积为B(t),则森林在火灾中烧毁的面积为B().而是森林被烧毁的速度,也表示了火势蔓延的程度,从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中,被烧毁的森林面积是不断扩大的,所以B(t)应是时间t的单调非递减的函数,即,,从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内,火势是越来越大的,即, ,开始救火以后,即时,如果队员灭火能力足够强,火势会越来越小,即,
,并且当t=时,。不妨设火灾区域为半径为r的圆形区域,且设在无人救火时r与t成正比,又dB/dt与r成正比,故dB/dt与t成正比(0 ≤t≤t1). 开始救火后(t> ),火势得到控制,dB/dt减小,到t=时,dB/dt= 0.
救援费分为两部分:一部分为器材的消耗和消防队员的薪金,与人数、时间成正比,另一部分为一次性投入,只与人数有关.
模型假设
1森林中树木分布均匀,而且火灾在无风的条件下发生的。
2损失费与森林烧毁面积B成正比,比例系数为(单位面积的损失费).
3从失火到开始救火这段时间内,火势蔓延程度与时间t(0 ≤t≤)成正比,比例系数为(火势蔓延速度),dB/dt= βt, β> 0. 0 ≤t≤, dB/dt在t= 时达到最大值β,记为b.
3 派出消防队员x名,开始救火以后(t> ),火势蔓延速度将为(线性化),其中可视为每个队员的平均灭火速度,且有,因为要使火势得到控制,所以,灭火速度必须大于火势蔓延的速度,否则火势将难以控制。dB/dt开始下降,可设dB/dt= b+ (βλx)(t−), 其中β< λx. 当t = 时,dB/dt= 0.−
4. 每个消防队员单位时间的费用为c2(包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等), 另外每个队员还有一次性费用c3,救火时间为这样救援总费用为模型的建立
总费用由森林损失费和救援费组成,由假,2 ,森林损失费等于烧毁面积B()与单位面积损失费的积,即;由假设5,救