文档介绍：第四章准静态电磁场
准静态电磁场
由麦克斯韦方程组知,时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。时变电荷产生库仑电场,时变磁场产生感应电场。在低频情况下,一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场,可以忽略。此时,时变电场满足
称为电准静态场。可见,电准静态场与静电场类似,可以定义时变电位函数j ,即
且满足泊松方程
与电准静态场对应的时变磁场满足
由麦克斯韦方程组知,时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。在低频情况下,一般位移电流密度远小于时变传导电流密度,可以忽略。此时,时变磁场满足
称为磁准静态场。可见,磁准静态场与恒定磁场类似,可以定义时变矢量位函数A,即
且满足矢量泊松方程
与磁准静态场对应的时变电场满足
图平板电容器
例1:图示圆形平板电容器,极板间距d = cm,电容器填充er=。忽略边缘效应,极板间外施电压V,求极板间的电场与磁场。
[解]:极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。在工频情况下,忽略时变磁场的影响,即极板间的电场为电准静态场。在如示坐标系下,得
由全电流定律得出,即由
极板间磁场为
A/m
也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度,如下
展开,得
解得
A/m
讨论:若考虑时变磁场产生的感应电场,则有
展开,得
解得 V/m
可见,在工频情况下,由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
对比准静态电磁场与静态电磁场的基本方程可见,仅麦克斯韦方程组中的两个旋度方程有异。因此,只需推导准静态电磁场在不同媒质分界面上的切向分量之间的关系。
对于磁准静态场中旋度方程对应的积分形式
在媒质分界面上取一个小回路,可得
即
由于磁感应强度对时间的变化率为有限值,当Dl2®0时,有
即电场强度的切向分量在媒质分界面上依然连续
, en´( E2 - E1) = 0
对于电准静态场中旋度方程对应的积分形式
类似于恒定磁场中旋度方程对应的积分形式
的讨论,只要电位移矢量对时间的变化率为有限值,必有
, en´( H2 - H1) = K
综上所述,准静态电磁场的边界条件为
H2t-H1t = Ks , en´( H2 - H1) = K
E1t=E2t , en´( E2 - E1) = 0
B1n=B2n , en × ( B2 - B1) =0
D2n-D1n = s , en × ( D2 - D1) =s
在大量工程问题中,场源及其所产生的电场和磁场都随时间作正弦变化。即使是非正弦的变化,也可通过傅立叶级数或傅立叶变换将其分解为随时间作正弦变化的分量的迭加来进行研究。
在准静态电磁场和下一章的动态电磁场讨论中,主要讨论随时间作正弦变化的时变电磁场(简称为时谐电磁场)。以电场强度为例,在直角坐标系下可写为
式中,w 是角频率,Exm、Eym、Ezm及fx、fy、fz分别是电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。
采用相量表示法,上式可表示为如下复矢量(相量),即
式中,,和。瞬时矢量被复矢量表示如下
式中,为与复矢量(振幅)对应的有效值表示。
采用复矢量表示时谐电磁场