文档介绍：1 行列式的概念及性质
行列式的概念
级行列式
等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和,这里的是1,2,…,的一个排列,每一项都按下列规则带有符号:当是偶排列时,带有正号;当是奇排列时,带有负号。这一定义可写成
,
这里表示对所有级排列的求和。
行列式的性质[1]
性质1 行列互换,行列式值不变,即
性质2 行列式中某一行(列)元素有公因子,则可以提到行列式记号之外,即
这就是说,一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个
数乘以此行列式。
事实上,
=++
=++
,
令=0,如果行列式中任一行为零,那么行列式值为零。
性质3 如果行列式中某列(或行)中各元素均为两项之和,即
,则这个行列式等于另两个行列式之和。
即
这就是说,如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,而
这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
性质4 如果行列式中有两行(列)相同,则行列式等于零。所谓的两行相同就是
说两行的对应元素都相等。
性质5 如果行列式中两行(列)成比例,则行列式等于零。
性质6 如果行列式中的某一行(列)的各元素同乘数后加到另一行(列)的对
应元素上去,则行列式不变。
性质7 对换行列式中两行(列)的位置,行列式反号。
2 行列式的计算方法
行列式的计算灵活多变,需要有较强的技巧。当然,任何一个阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知,阶行列式的展开式有!项,计算量很大,一般情况下不用此法,但如果行列式中有许多零元素,可考虑此法。值的注意的是:在应
用定义法求非零元素乘积项时,不一定从第1行开始,哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行(列)展开法。
化三角形法[6]
化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式,在一般情况下,计算往往较繁。因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。
例1 浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题(重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题)的解答中需要计算如下行列式的值,
分析:显然若直接化为三角形行列式,计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始,每一列与它一列中有-1个数是差1的,根据行列式的性质,先从第-1列开始乘以-1加到第列,第-2列乘以-1加到第-1列,一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去,再将其化为三角形行列式,计算就简单多了。
解:
问题推广:
例1中,显然是1,2,…,-1, 这个数在循环,那么如果是这个无规律的数在循环,行列式该怎么计算呢?我们把这种行列式称为“循环行列式”。从而推广到一般,求下列行列式
。
解:
令
首先注意,若为次单位根(即),则有
,
记
,
方阵,则由上述知:,故
。
为范德蒙行列式,
又例1中,循环的方向与该推广在方向上相反,所以例1与
相对应,,即得,
。
从而当
从而有
与例1的答案一致。
按行(列)展开法(降阶法)[3][12]
设为阶行列式,根据行列式的按行(列)展开定理有
或
其中为中的元素的代数余子式
按行(列)展开法可以将一个阶行列式化为个阶行列式计算。若继续使
用按行(列)展开法,可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算,这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下,按行(列)展开并不能减少计算量,仅当行列式中某一行(列)含有较多零元素时,它才能发挥真正的作用。因此,应用按行(列)展开法时,应利用行列式的性质将某一行(列)化为有较多的零元素,再按该行(列)展开。
例2 计算20阶行列式
分析:这个行列式中没有一个零元素,若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至
化许许多多个2阶行列式计算,需进行(20!)20-1次加减法和乘法运算,这是人根本无法完成的,更何况是阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素,则很快就可算出结果。
注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差1,因此,可按下述方法计算,
解:
以上就是计算行列式最基本的两种方法,接下来介绍的一些方法,不管是哪种,都
要与行列式的性质和基本方法结合起来。
下面是一些常用的方法: