行列式的计算方法总结.doc

文档介绍：行列式的计算方法总结:
1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.
2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理).
几个特别的行列式:
,,其中分别是阶的方阵.
例子: ,
利用Laplace定理,按第行展开,除级子式外其余由第行所得的级子式均为零.
故,此为递推公式,应用可得
.
3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.
例: -----()
--------(每一列提出相应的公因子)
--------(将第列加到第一列)
.
其它的例子:特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.
,.
4. (列)(列)相减可以化出零.
5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).
例子:
.
例子:
6. 利用范德蒙德行列式.
计算行列式:
解: 令: ,这是一个级范德蒙德行列式.
一方面,.
另一方面,将按最后一列展开,可得一个关于的多项式,其中的系数与所求行列式的关系为.
由来计算的系数得:,
故有
其它的例子:
……每一行提公因子,
.(对行列式的级数归纳)
证明当时,
证明时,将按第一行(或第一列)展开得,利用归纳假设可得.
8. 利用递推公式.
例子: 计算行列式
解: 按第一行展开得: ,将此式化为:
(1) 或(2)
利用递推公式(1)得:
,即. (3)
利用递推公式(2)得:
,即. (