行列式的计算方法总结.docx

文档介绍：行列式的计算方法总结
.利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式 ^
.行列式按一行（一列）展开，或按多行（多列）展开（Laplace定理）. 几个特别的行列式：
A 0
Ci B
C2 B
例子：D2n
利用Laplaca X3
a
0
a
a
a
a Xn
1 a a a
1 X1 0 0
1 0 X2 0
1 0 0 X3
a
0
0
0
a
— a a a
i 1 Xi
0 X1 0 0
0 0 X2 0
0 0 0 X3
a
0
0
0
X1X2
Xn(1
i 1 Xi
10 0 0
Xn
Xn

1
1
1
X1
X2
X3
2
2
2
计算行列式：D
X1
X2
X3
n 2
n 2
n 2
X1
X2
X3
n
n
n
X1
X2
X3
1
xn
2 xn
xn
解：令：Di
1
1
X1
X2
2
2
X1
X2
n 2
n 2
X1
X2
n 1
n 1
X1
X2
n
n
X1
X2
1
1
Xn
y
2
2
Xn
y
n 2
n 2
Xn
y
n 1
n 1
Xn
y
n
n
Xn
y
，这是一个n
1级范德蒙德行列式
方面，由范德蒙德行列式得
D1
(Xi Xj) (y X〔)(y n
X2) (y
xn）.可看做是关于y的一个n次多项式.
另一方面，将Di按最后一列展开，可得一个关于
y的多项式D1
n
Pny
n 1
Pn 1y
P1 y Po淇中yn 1的系数
Pn 1与所求行列式
D的关系为D
Pn
由D1
1
(Xi i n
Xj)
(y
X1)(y
X2)
(y
Xn）来计算yn
1的系数
Pn 1 得：Pn
(Xi
1 j i n
为）
n
Xi， i 1
故有D
Pn
(Xi
n
n
Xj)
Xi i 1
其它的例子
n
a
n
a2
n
a1
n
a2
bi
b2
n
a1
n
a2
2b2
2b2
n 1
ab
n 1 a2 b2
bn
城
每一行提公因子
n
an 1
n
an
1bn 1
n 2 2
an 1 bn 1
an 1bn
b：1
n
an
(%
a1
(殳)
a2
(当2
a1
昌2
a2
昌
a1
心)
a2
n
an 1
ai
(町
an 1
(町2
an 1
(bn 1 )n
an 1
(bn 1 )n
an 1
Dn 2,利用归纳假设可得
解：按第一行展开得：
Dn
)Dn
Dn
2,