文档介绍：第三章线性系统的时域分析法
3-5 线性系统的稳定性分析
一﹑线性系统稳定的定义及充分必要条件
定义: 若线性控制系统在初始扰动
的作用下, 其输出
随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零, 则该系
统为渐近稳定, 简称稳定; 反之, 称该系统不稳定.
上述定义可用数学语言表示为:
上式中,
为特征方程
的实数根,
为特征方程
的共轭复数根,
为特征多项
式
中S的最高次方, 即系统的阶数. 将系统的传递函数
进行部分分式, 得:
上式中
因为
为复数,所以
与
也是复数,又因为
为共轭复数,
所以
与
也是共轭复数, 把上式中后两项合并, 得:
令
均为实数,则
因为系统的单位脉冲响应函数
,故对上式进
行拉氏反变换得:
系统稳定的充分必要条件是: 系统特征方程的所有根都
具有负实部, 或者说, 系统传递函数的极点均在根平面的左
半 S 复数开平面上(不包括虚轴).
需指出的是, 系统的稳定与否, 仅与系统本身的结构和
参数有关, 而与输入信号的形式和大小无关.
二﹑线性系统稳定性的初步签定
线性系统特征方程的一般形式可表为:
由上两式可见, 只有当
即所有极点
均在极点平面的左半平面上, 将上面
第二个等式展开后, 第一个等式S各次方前的系数必都为
大于零的正数. 由此可得系统稳定的必要条件为: 系统特
征多项式
的所有系数
均大于零.
必要条件只起否定作用, 也即只要不满足必要条件, 系
统必不稳定, 必要条件不起保证作用, 也即满足必要条件,
系统不一定稳定.
三﹑赫尔维茨稳定判据
n阶系统的特征方程为:
构造
的系数主行列式:
赫尔维茨稳定判据的内容为:
n阶特征方程的根全部具有负
实部的充要条件是, 特征方程
的各项系数为正, 且
的系
数行列式的各阶主子式均大于
零, 即
而
<=4时, 赫尔维茨稳定判据的简单表示形
式.
例:设闭环系统的特征方程为:
试确定使系统稳定的K的取值范围.
解:构造特征方程的系数行列式.
时系统稳定.
四﹑劳思稳定判据
n阶系统的特征方程为:
式中
, 构造如下劳思行列表:
表中, 最左边一列和最上
面两行构成劳思行列表的
表头, 表中其它各行各列
的元素值按如下公式计算:
以下各行各列的元素值可依上
几式的规律依次算得.
则线性系统稳定的充要条件是
劳思表中第一列各值均大于零. 如劳思表第一列中出现小于零
的数值, 系统就不稳定, 且第一列各数值符号的改变次数, 就
是系统特征方程的正实部根的数目, 即系统在极点平面的右半
平面上的极点个数.
例1: 设系统的特征方程为
用劳思稳定判据判别系统是否稳定?
解:
因为第一列有-25, 且正﹑负号改变
两次, 所以系统不稳定, 且有两个
根在s的右半平面上.
例2: 设系统的特征方程为
用劳思稳定判据判别系统是否稳定?
解:
因为第一列有-, 且正﹑负号改变
两次, 所以系统不稳定, 且有两个
根在s的右半平面上.