文档介绍：第七章线性离散系统的分析与校正
离散系统的基本概念
目前, 随着计算机性能和可靠性的不断提高, 计算机越来越
多地参与系统的控制. 而计算机所能接收和输出的信号只能是数
字信号, 数字信号是关于时间t的离散信号. 简单来说这种系统叫
采样离散控制系统, 其一般结构可由下图简单表示:
图中, S是采样开关, 它以周期T开闭一次. 当连续信号e(t)经过
采样开关S后, 得到一时间t的离散信号
. 上图中的其它信号
都是时间t的连续信号. 于是定义:在系统中只要有一处的信号是
时间t的离散信号, 即为时间t的断续函数时, 此系统就叫采样离
散系统, 简称离散系统.
由于离散系统比连续系统多了采样开关, 在系统中出现了离
散信号等特点, 给对系统的研究带来一些新问题. 下面先从研究
离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手, 逐一介绍离散
系统的一些基本概念, 所采用的数学工具及分析和设计离散系统
的思路与方法.
信号的采样与保持
假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开, 即闭合的时间等于零
且闭合时的接通电阻为零, 打开时的断开电阻无穷大, 则称其为
理想采样开关. 如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单
位阶跃信号, 则其输出为一单位脉冲序列
, 见下图:
上图中
如理想采样开关的输入为任一连续信号e(t), 且当t<0时, e(t)=0,
则理想采样开关的输出如下图所示:
上图中
叫调幅脉冲序列, 其拉氏变换式为:
对离散信号也可进行频谱分析, 由付立叶级数的定义, 周期性的
单位脉冲序列可展开成下面级数:
式(3)中:
叫采样角频率,
叫采样频率. 将式
(3)代入式(1)得:
对式(4)进行拉氏变换:
令式(5)中的
得
的频谱表达式:
式(2)和式(5)是
的两种不同形式的拉氏变换表达式,
式(2)中的
与
中的
建立了联系, 而式(5)变成式(6)
后,式(6)中的
是
的频谱, 并可证明
是
的
周期函数. 前已交代过,采样前的连续信号
的拉氏变换式为
其频谱表达式为
,因此式(6)中的
与采样前的连续信
号的频谱建立了联系. 由于
是
的周期函数, 所以离散信
号频谱中每隔
重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号
经过采样后的离散信号多出了许多高频分量, 且离散信号频谱的
幅值是采样前的连续信号频谱幅值的1/T. 因此式(2)和式(6)各有
各的使用场合. 式(2)和式(5)虽都是无穷级数, 但通常可将式(2)
写成闭合形式, 而却不能将式(5)写成闭合形式, 下面举例说明
例: 设
, 求
的拉氏变换式.
解: 先用式(2)求.
再用式(5)求.
由上例可见,
的拉氏变换式为
, 只有一个s=0的极点,而
的拉氏变换式为
, 有无穷多个极点, 这给分析离散系统带
来很多不便, 为此需给离散信号另一种变换工具, 这就是以后要
专门介绍Z变换的原因.
一个离散系统往往有多个采样开关, 各个采样开关最简单的
动作方式叫同步等周期采样方式, 这种方式在工程上用的较普遍
对系统的分析也较方便. 以后讨论问题时, 均以同步等周期采样
作为各个开关的动作方式
信号的复现和采样定理及保持器
实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外, 常需将
离散信号转换成采样前的连续信号, 如计算机控制系统中的D/A
转换器就起这一作用. 问题是, 经采样的离散信号能否复原成
采样前的连续信号? 如能, 应具备什么条件, 用何装置实现?
本小节就讨论这些问题.
由下图
可见, 连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的
但离散信号所对应的连续信号却并不唯
一, 而有无穷多个, 请见左图.
图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连
连续信号, 而经采样所得到的离散信号
是相同的, 即一个离散信号可对应无穷
多个连续信号. 如果采样周期足够小, 即采样点足够密, 则离散
信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号, 问题是采样周期
应小到什么程度?
香农采样定理: 要由离散信号完全复现出采样前的连续信
号, 必须满足: 采样角频率
大于或等于两倍的采样器输入连
续信号频谱中的最高频率
, 即:
对香农采样定理举例说明, 设有叫钟形波的连续信号, 其
时域和幅频表达式为:
其幅频曲线如下图:
由式(6), 离散的钟形波其幅频曲线如下图:
若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器
其幅频特性表为:
, 幅频曲线如上图,
钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉,
分量的波形与连续钟形波的波形一样, 仅幅