文档介绍：第八章非线性控制系统分析
8-1非线性控制系统概述
以前讨论的自动控制理论, 都是针对线性控制系统的
所以也叫线性自动控制理论. 所谓线性控制系统是指系统
中所有环节的输入输出都呈线性关系, 若有的环节所具有
的非线性特性不很强烈, 且可对其线性化, 则也可当作线
性环节处理. 但如此处理后, 应使对系统的分析和设计的
精度满足工程上的要求. 系统中只要有一个环节的非线性
特性很强烈, 对其线性化将影响对系统分析和设计的精度
或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化, 则只能用
非线性理论对系统进行分析和设计.
在工程实际中, 大多数被控对象都具有非线性特性,
因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义. 在某
些情况下, 在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素
反而有利于控制质量的提高.
在系统中, 只要有一个环节或元件有非线性特性,
则整个系统就叫非线性系统, 如下图所示.
上图中, 大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节,
表示非线性系统中线性部分的传递函数.
非线性的特性是各种各样的, -
表8-1给出了一些工程上常见的典型非线性特性.
8-2非线性控制系统的特征
非线性控制系统有如下两个基本特征:
(1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程
(2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参
数有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小
有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分
方程, 而从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的
解法, 再由于第二个特征, 对非线性控制系统也没有一
个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待.
本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描
述函数法, 是在非线性控制系统满足一定的条件下, 将
线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的, 因
此具有一定的局限性.
8-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
非线性系统.
设一二阶系统可用下面常微分方程描述:
上面微分方程的解可用
对
的关系曲线表示, 也可用
与
的关系曲线表示, 当用后一种关系曲线时,是
把曲线画在
的直角坐标平面上, 而
作为参变量
在
平面上并不出现.
设下图为式(1)在初始条件
情况下的
与
的关系曲线.
当
时, 平面上的点随时间的增大,
将沿曲线移动. 当初始条件确定后,
曲线也确定, 则曲线上任何一点的
坐标也确定. 当
的值确定后, 由
式(1)可知
的值也唯一确
定, 从而系统的整个运动状态也完全确定.
整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动
性质. 上图中的平面叫相平面, 曲线叫系统在某一初始
条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个,
因此相应的相轨迹也有无穷多条, 这无穷多条相轨迹构
成的相轨迹簇叫相平面图. 因为
所以, 当
确定后,
也唯一确定. 而
是相
轨迹在
处的曲线斜率, 由于每一点上的斜率确定,所
每一点上只能通过一条相轨迹, 这说明由不同初始条件
出发的相轨迹曲线互不相交. 如果在相平面上某些点的
, 即曲线在这一点上的斜率不定, 可有无穷多
条相轨迹通过这一点, 称这一点为系统的平衡点, 或叫奇
点. 在相平面的上方(如下图)
, 由于
所以
总是朝大的
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图
中箭头所指从左向右移动.
在相平面
的下方, 由于
所以
总是朝小的
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图中箭
箭头所指从右向左移动.
在
轴上, 由于
, 即
不变化, 达到最大值或最小值, 故相轨迹曲线
与
轴的交点处的切线总垂直于
轴.
2. 相轨迹作图法
先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法.
(1)解析法
根据系统的微分方程求出相轨迹方程, 然后由相轨
迹方程绘制相平面图, 此方法仅用于简单的一﹑二阶线
性系统或分段线性系统.
(a)线性一阶系统系统自由运动的微分方程为:
相轨迹方程为:
设初始条件:
, 当T>0,相轨迹如下图
系统从任一初始点出发, 均将沿相轨
迹收敛于原点. 当T<0, 相轨迹如图
中绿线所示.
系统从任一初始点出发
均将沿相轨迹发散至无穷.
(b)线性二阶系统系统自由运动的微分方程为:
式(5)可用两个一阶微分方程联立表示:
式(6)除以式(7):
第一种情况,
, 式(8)为:
对式(9)两边积分得:
式(10)中,
, 是由初始条件
决定
的积分常数, 当
取不同的数值时, 式(