文档介绍：第四章线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么.
设有二阶代数方程
, 由韦达定理, 可求出其二个根
为:
, 由于代数方程是二阶的, 求其根很方便
即便如此, 当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个
根的所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即S平面上画出这
两个根随K从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两
个根的表达式着手来画.
(1)K=0, 则
, 在S平面上的位置如下图所示:
0
-1
-2
jω
σ
(2) 当0<K<=, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另
一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示:
0
-1
-2
jω
σ
-
当K=, 两根相等, 均为-
(3) <K<+∞时, 两根为共軛复根, 且其实部均为- , 而
虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化轨迹如下图所示:
0
-1
-2
jω
σ
-
由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根
平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是
二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画
图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例
中至少可得到根轨迹图的以下几个特点:
(1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨
迹分支;
(2) 若把代数方程
写成如下形式, 即:
并令:
则左式分母
的根为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程
的两个根,
也即两条根轨迹分支的起点.
(3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上
的根轨迹关于实轴成镜向对称.
实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶
代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统
的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点
也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性
能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先
从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋
势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上
的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上
来.
1. 根轨迹定义
定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时, 系
统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而
形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.
2. 根轨迹方程
闭环控制系统的一般结构图如下所示:
H(S)
G1(S)
G2(S)
R(S)
Y(S)
其开环传递函数
, 开环传递函数是各
个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环
节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S
多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得.
因此, 闭环系统的开环传递函数可表为:
式(1)中:
阶数.
是G0(S)的零点, i=1,2,….m
是G0(S)的非零极点, j=1,2,….r
表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的
K叫开环系统的增益, K’叫开环系统的根轨迹增益,
K与K’的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即:
闭环系统的特征方程为:
,即:
,将式(1)代入
式(3)中:
式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程:
是
的模;
是
的模;
是
的幅角;
是
的幅角;
式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面
上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根,
凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制
根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅
值条件求出.
是
的幅角;
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方
便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则
利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根
轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用
了.
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则
不予推导和证明.
需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环
传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量.
例: 某闭环系统的开环传递函数为:
上例中:
将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上开环极点, 用